Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
onde risulta che le rispettive componenti secondo gli assi sono date da
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Dai n. prec. risulta pei vettori, rispetto ad una terna di assi, una rappresentazione espressiva. Dato un vettore v di componenti X, Y, Z
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Se con una traslazione degli assi si trasporta l’origine nel fuoco (centro del moto) si ha
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Così, in particolare, i versori fondamentali di una terna cartesiana (ortogonale) di assi sono caratterizzati dalle sei relazioni
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Per aver la forma delle equazioni cartesiane di un moto traslatorio, immaginiamo di avere scelto inizialmente gli assi della terna mobile paralleli e
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stessa direzione (cioè gli assi di rotazione dei due moti siano coincidenti). Poiché tutto ciò si può ripetere anche quando si compongono più di due moti
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Alla lor volta, le u, v, w, in quanto sono le componenti secondo gli assi mobili del vettore v 0 che secondo gli assi fissi ha le componenti son date
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29. Analogo risultato sussiste nel caso in cui si compongono due atti di moto rotatori intorno ad assi paralleli,
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Scrivendo prima, le componenti rispetto agli assi Ωξηζ, poi quelle rispetto agli assi Ωx yz, si ha per k
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Composizione di più rotazioni uniformi attorno ad assi paralleli. Giova rappresentarsi le rispettive velocità angolari ω1, ω2,…, ωn come vettori
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rispetto agli assi mobili e quella di τ rispetto agli assi fissi coincidono, talché l'annullarsi dell’una implica l'annullarsi dell’altra.
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Ciò posto, una precessione regolare (ad assi di precessione e di figura non ortogonali) si dice progressiva o retrograda, secondo che i due moti
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cui si riduce la (13) del n. 10, nel caso presente della invariabilità di u rispetto agli assi mobili.
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33. Le (7) si riferiscono ad assi orientati in modo particolare. Si passa subito ad assi generici (sempre, beninteso, coll’origine in Ω), pensando
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dove son le componenti secondo gli assi fissi della velocità v 0 dell’origine mobile O.
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Se invece ci riferiamo agli assi mobili, le componenti vx, vy della velocità v saranno date da
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e poiché per le (22) stesse le componenti v 0|x, v 0| y secondo gli assi mobili della v 0, si conclude
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Per un sistema rigido generale i gradi di libertà nello spazio sono tanti quanti quelli di una terna di assi (solidale colla figura) cioè 6, in
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vettore C - O, perpendicolare alla sua volta a codesto stesso piano. Perciò la (9) proiettata sugli assi fissi dà luogo a due sole equazioni scalari
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Prendiamo, in particolare, P' coincidente coll’origine O degli assi coordinati e sia M o il corrispondente momento risultante.
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§ 7. - Specificazione del sistema di riferimento. Influenza correttiva della Meccanica celeste. Assi fissi e moto assoluto.
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o, rispetto a tre assi (stellari o fissi),
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Basta applicare la (11') supponendo lo spostamento elementare parallelo ai tre assi; cioè supponendo successivamente dy = dz = 0, dz = dx = 0, dx=dy
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ossia, rispetto a tre assi fissi, alle tre equazioni differenziali del 2° ordine
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e proiettata sugli assi dà, per le coordinate x 0, y 0, z 0 di G, le espressioni
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come variano i momenti d’inerzia rispetto ad assi paralleli;
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come variano i momenti d' inerzia rispetto ad assi concorrenti.
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22. Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti. - Determinato così come variano i momenti di inerzia, quando gli assi, a cui si riferiscono
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§ 6. - Ellissoide d’inerzia. - Assi principali. Casi particolari notevoli.
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Gli assi dell’ellissoide d’inerzia si chiamano assi principali d’ inerzia relativi al punto considerato.
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Assumendoli come assi coordinati, la (21) si riduce, come è noto, alla forma particolare
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sono tutte zero: le prime tre, perché l'origine cade nel centro di gravità, le seconde tre (n. prec.), perché gli assi coordinati sono gli assi
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In parecchi casi, la speciale configurazione del sistema (n. 13) mostra ovviamente dove sta il baricentro e come sono diretti i relativi assi
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La dimostrazione è immediata. Basta assumere il piano del sistema come piano z = 0, l’asse perpendicolare come asse delle z, e gli altri due assi
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2° la distanza tra i due assi.
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26. I momenti d’inerzia di un’ellisse omogenea rispetto agli assi sono
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come risulta tosto dal fatto che, prendendo le componenti secondo gli assi coordinati, si ritrovano le (33).
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Supposto per semplicità che gli assi x, y, z, sieno assi principali di inerzia per l’origine O, l’espressione di Ί (Cap. prec., n. 24) si riduce a
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che rispetto agli assi principali di inerzia assume la forma (21''). In ultima analisi, per un’opportuna scelta degli assi e trascurando i termini di
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che, proiettate sugli assi di una terna di riferimento, danno luogo alle sei equazioni scalari
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e, poiché sinora si son fissate le direzioni degli assi, non la posizione dell’origine, possiamo, con una traslazione degli assi parallela all’asse x
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e basta eseguire una traslazione degli assi parallela all’asse y, (cioè assumere come nuova y la y - cost.) per ridurre a zero la costante di
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A tale scopo osserviamo anzitutto che è indipendente dalla scelta particolare degli assi di riferimento (finché beninteso si considerano soltanto
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cioè si riducono alle componenti X i, Y i, Z i delle forze attive F i secondo gli assi cartesiani.
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6. Rotazioni e rototraslazioni uniformi. - Forza centrifuga. - Gli assi di riferimento siano invece animati da un moto rotatorio uniforme.
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8. Cambiamento degli assi coordinati. - Supponiamo di eseguire una trasformazione di coordinate, assumendo una nuova terna Ωξηζ di assi coordinati
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Nella rappresentazione analitica dei fenomeni di moto si assume di solito, come ente di riferimento, una terna di assi cartesiani.
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Mentre un punto P si muove nello spazio secondo le equazioni (2), le sue proiezioni ortogonali P x, P y, P z sui tre assi si muovono ciascuna sul
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Considerato nel piano, rispetto a una data coppia Oxy di assi cartesiani, il moto di un punto P, di equazioni
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onde risultano per le componenti secondo gli assi della velocità v le espressioni
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Accademia della crusca
