Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
v 1+ v 2 = v 2+ v 1
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è rappresentato dalla diagonale O A 2 , del parallelogramma OA 1 A 2 A'1 racchiuso dai due vettori v 1, v 2 applicati ad uno qualsiasi punto O.
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43. Per l’accennata discussione, distinguiamo tre casi, secondo che è h 2 k o h 2 > k o h 2 = h 2 = k.
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In tale ipotesi, se si pone k - h 2 = ω 2, la (49) diventa
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Se h 2 > h, h > 0, k 0 le due radici z 1, z 2 sono di segno contrario e si ha precisamente z 1 > 0, z 2 0; talché si rileva immediatamente dalla (51
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In ogni caso il prodotto scalare di v 1 per v 2 si denota con v 1 x v 2 da leggersi «v 1 scalare v 2».
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Il prodotto v x v di un vettore per se stesso, che si suol indicare più semplicemente con v 2, coincide (essendo ) col quadrato v 2 della lunghezza
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È poi facile determinare l’espressione del prodotto v 1 x v 2 per mezzo delle componenti X 1, Y 1, Z 1 e X 2, Y 2, Z 2 di v 1 e v 2 secondo le
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Ciò premesso, dicesi prodotto vettoriale(od esterno) dei due vettori v 1, v 2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2» o « v 1
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Notiamo infine che per avere il vettore applicato in un generico punto O, che rappresenta il prodotto v 1 Λ v 2, di due vettori non nulli, né
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Le (18) non richiedono dimostrazione quando sia v 1 = 0 o quando v 1 e v 2 siano paralleli, giacché in tali ipotesi tutti e tre i membri sono nulli
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Se poi è a 0, osserviamo che l’angolo di a v 1 e v 2 , è eguale a quello di - v 1 , e v 2 ed ha perciò l’ampiezza di e di verso opposto a quello di
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Ciò premesso, per dimostrare la (19) indichiamo con v 1 ', v 2 ' i componenti di v 1, v 2 secondo la giacitura ortogonale a v, talché sia v 1 '+ v 2
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24 . Applicando tali regole di calcolo, è facile esprimere le componenti L, M, N di un prodotto vettoriale v 1 Λ v 2 (rispetto ad una terna
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31 . Dato un sistema di vettori v 1, v 2,…,v n, applicati ad altrettanti punti (distinti o coincidenti) A 1, A 2,...,A n, indichiamo ordinatamente
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(2) P i = P i (q l, q 2,... , q n |t). (i = 1, 2,... , N).
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) e P 2 (x 2, y 2, z 2) collegati da un filo flessibile ed inestendibile di lunghezza l. Invero le coordinate dei due punti debbono soddisfare alla
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a 1 : a 2 = m 2 : m 1;
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F = m 1 a 1 ed F = m 2 a 2,
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Ciò posto, dicesi lavoro della F corrispondente al moto (2) del punto di applicazione fra due istanti generici t 1 e t 2, o dalla posizione P(t 1
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(7) L P 1 P 2 = U (x 2, y 2, z 2) - U (x 1, y 1, z 1),
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ove con x 1, y 1, z 1 e x 2, y 2, z 2 si designano le coordinate di P 1 e P 2 rispettivamente.
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[L] = l 2 t - 2 m;
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[T] = l 2 t - 2 m,
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Aggiungendo al sistema σ 1 tutti i vettori B-A del sistema σ 2 e i corrispondenti A-B del sistema σ 2', vediamo intanto che il sistema σ 1 è
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Si passa dunque successivamente (con sole operazioni elementari) da σ 1 al sistema composto σ 1, σ 2, σ 2' e da questo a σ 2.
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D’altra parte, qualunque sia il centro di riduzione, il sistema σ 2' ha il risultante e il momento risultante manifestamente opposti al risultante e
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Così in particolare, per le forze di propulsione F ed f (n 1 = 1, n 2 = -2, n 3 = 1) e per le potenze Π e π (n 1 = 2, n 2 = -3, n 3 = 1) varranno le
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α + β + 2 = 1 -α + -2β + -2 = -2.
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Per una potenza, poiché n 1 = 2, n 2 = -3, n3 = 1, si avrà
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Esempio . - Per una forza, essendo n 1 = 1, n 2 = -2, n3 = 1, si avrà
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Il sistema ( v 1, v 2 ), in quanto è a risultante diverso da zero, equivale necessariamente (n. 50) all’unico vettore v 1 + v 2 applicato in un punto
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Escluso codesto caso, la linea di azione di v 1 + v 2 intersecherà in un certo punto C la trasversale A 1 A 2 alle due rette parallele r 1, r 2 . Per
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Se le r 1, r 2 sono distinte, la linea di azione del vettore applicato v 1 + v 2 (di lunghezza v 1 - v 2) equivalente al sistema ( v 1, v 2
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e, poiché per ipotesi è v 2 v 1, sarà parimenti A 1 C A 2 C; cioè il punto C cadrà sul prolungamento di A l A 2 dalla parte del punto d’applicazione
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(19) A = s 2 + s 3, B = s 3 + s 1, C = s 1 + s 2.
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A = s 1, B = s 2, C = s 1 + s 2 = A + B,
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55 . Se indichiamo con d la larghezza della striscia r 1 r 2, talché sia (per l’ammessa ipotesi v 1 > v 2) d 2 = d + d 1, deduciamo dalla d 1 v 1
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ove si designano con h 1, k 1, le distanze, rispettivamente, di P 1 e Q da P 2 P 3 , e Φ 1 l’intensità della reazione Φ 1 . Se si rappresenta con Δ l
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dove τ,p 1, p 2 hanno significato evidente, 2a = B 1 B 2 , b è l'altezza di a sulla catenella, e a 1, a 2, sono le distanze dei baricentri G 1, G 2
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Φ 2·3 = (Q 2 - Q 3) + (Q 1 - Q 2);
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(Q 3 - Q 2) - (Q 1 - Q 2) + Φ 2·3 = 0
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9. Nel poligono delle forze Q 1 Q 2..., Q n, associato ad un poligono funicolare P 1 P 2..., P n, i lati e le diagonali Q 2 Q 1,Q 3 Q 1..., Q n Q 1
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Infatti se il sistema articolato P 1 P 2..., P n si immagina sottoposto ai nodi P 1 P 2..., P n a forze ordinatamente equipollenti a Q 1 Q 2, Q 2 Q 3
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Viceversa, se ad una qualsiasi poligonale P 1 P 2..., P n si può associare un poligono chiuso Q 1 Q 2..., Q n, tale che le rette Q 2 Q 1, Q 3 Q 1…, Q
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Cominciando, infatti, da Q 2 Q 1, basta ricordare che, per la costruzione del poligono delle forze, Q 2 Q 1 = -Q 1 Q 2 è equipollente a - F 1 e che
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(24) T 2 = p 2 x 2 + φ2.
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2.° che l’equazione in z ammette una sola radice positiva, compresa fra 1 e 2, il cui valore approssimato è 1, 2;
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Notiamo infine che se v 1 e v 2 sono due vettori (entrambi non nulli) di componenti X 1, Y 1, Z 1, e X 2, Y 2, Z 2 rispettivamente e si designa con
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che, analogamente, costituiscano una coppia p 2 e la reazione R 2 di P 2;
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