Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
v 1+ v 2 = v 2+ v 1
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è rappresentato dalla diagonale O A 2 , del parallelogramma OA 1 A 2 A'1 racchiuso dai due vettori v 1, v 2 applicati ad uno qualsiasi punto O.
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In particolare si ha la differenza di due vettori v 1 - v 2 , che sommata con v 2, riproduce v 1, e che è rappresentata dalla seconda diagonale A’1 A
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In ogni caso il prodotto scalare di v 1 per v 2 si denota con v 1 x v 2 da leggersi «v 1 scalare v 2».
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È poi facile determinare l’espressione del prodotto v 1 x v 2 per mezzo delle componenti X 1, Y 1, Z 1 e X 2, Y 2, Z 2 di v 1 e v 2 secondo le
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Ciò premesso, dicesi prodotto vettoriale(od esterno) dei due vettori v 1, v 2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2» o « v 1
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Notiamo infine che per avere il vettore applicato in un generico punto O, che rappresenta il prodotto v 1 Λ v 2, di due vettori non nulli, né
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Le (18) non richiedono dimostrazione quando sia v 1 = 0 o quando v 1 e v 2 siano paralleli, giacché in tali ipotesi tutti e tre i membri sono nulli
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Se poi è a 0, osserviamo che l’angolo di a v 1 e v 2 , è eguale a quello di - v 1 , e v 2 ed ha perciò l’ampiezza di e di verso opposto a quello di
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Per estenderla al caso generale dimostriamo anzitutto che il prodotto vettoriale v Λ v 1 di un qualsiasi vettore v (non nullo) per un vettore v 1
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Indicheremo con λ1 la parallela alla base, che ne dista di 2a, toccando l 1, con A 1, Ω1, I 1, B 1 le proiezioni di A, Ω, I, B su λ1.
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e quindi I O 1 = I O'. Dall’eguaglianza dei triangoli I OO 1, I O'1 O', segue poi O'O'1 = OO 1.
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a 1 : a 2 = m 2 : m 1;
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F = m 1 a 1 ed F = m 2 a 2,
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(1) L = F x (P 2 – P 1).
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(7) L P 1 P 2 = U (x 2, y 2, z 2) - U (x 1, y 1, z 1),
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ove con x 1, y 1, z 1 e x 2, y 2, z 2 si designano le coordinate di P 1 e P 2 rispettivamente.
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λ n 1, τ n 1, μ n 1
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ν = λτ-1 ossia τ = λν -1;
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Così in particolare, per le forze di propulsione F ed f (n 1 = 1, n 2 = -2, n 3 = 1) e per le potenze Π e π (n 1 = 2, n 2 = -3, n 3 = 1) varranno le
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(6'') q = q l α, q 2 β, q 3 γ (1, 1, 1| r |r').
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[p] = 1 - 1 t - 2 m.
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Esempio . - Per una forza, essendo n 1 = 1, n 2 = -2, n3 = 1, si avrà
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Designando con G', G 1' i baricentri dei due poligoni, con G", G 1''quelli dei rispettivi triangoli (rispettivi nel senso che completano l’assegnato
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Se le r 1, r 2 sono distinte, la linea di azione del vettore applicato v 1 + v 2 (di lunghezza v 1 - v 2) equivalente al sistema ( v 1, v 2
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55 . Se indichiamo con d la larghezza della striscia r 1 r 2, talché sia (per l’ammessa ipotesi v 1 > v 2) d 2 = d + d 1, deduciamo dalla d 1 v 1
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Di tutto ciò si può naturalmente avere la riprova formale, introducendo le coordinate x, y, z di P e x 1, y 1, z 1 di Q, con che:
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L’indentità 1 + ε2 + -2εγ = (1 - εγ)2 + (1 - γ2) ε2 ci assicura che, per |γ| ≤ 1 e per |ε| 1 (condizione, nel caso nostro, esuberantemente
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Φ 1 h 1 = p k 1,
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ove si designano con h 1, k 1, le distanze, rispettivamente, di P 1 e Q da P 2 P 3 , e Φ 1 l’intensità della reazione Φ 1 . Se si rappresenta con Δ l
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dove τ,p 1, p 2 hanno significato evidente, 2a = B 1 B 2 , b è l'altezza di a sulla catenella, e a 1, a 2, sono le distanze dei baricentri G 1, G 2
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Per ricavare R 1 basta moltiplicarle ordinatamente per 1, k, k 1, k 2, k 3 e sommare.
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(4) Φ i·i+1 = - Φ i+1·l.
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Φ i·i-1 = Φ i-1·i e Φ i·i+1,
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(6) F 1 + Φ 1·2 = 0, F n – Φ n-1·n = 0.
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Importa ancora osservare che, quando uno sforzo Φ i·i+1 (o Φ i+1·i) ha carattere di tensione, l’ordine i, i + i (o, rispettivamente, i + 1, i) degli
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9. Nel poligono delle forze Q 1 Q 2..., Q n, associato ad un poligono funicolare P 1 P 2..., P n, i lati e le diagonali Q 2 Q 1,Q 3 Q 1..., Q n Q 1
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Viceversa, se ad una qualsiasi poligonale P 1 P 2..., P n si può associare un poligono chiuso Q 1 Q 2..., Q n, tale che le rette Q 2 Q 1, Q 3 Q 1…, Q
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Cominciando, infatti, da Q 2 Q 1, basta ricordare che, per la costruzione del poligono delle forze, Q 2 Q 1 = -Q 1 Q 2 è equipollente a - F 1 e che
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Infatti se il sistema articolato P 1 P 2..., P n si immagina sottoposto ai nodi P 1 P 2..., P n a forze ordinatamente equipollenti a Q 1 Q 2, Q 2 Q 3
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dove φ denota il valore costante delle componenti secondo l’asse delle x degli sforzi Φ 1·2 , Φ 2·3 ,..., Φ n-1·n che qui hanno carattere di tensioni
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Quanto poi al poligono funicolare, si ricordi che i suoi lati debbono risultare paralleli rispettivamente a Q 2 Q 1, Q 3 Q 1…, Q n Q 1.
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funicolare (n. prec.), assumiamo un sistema cartesiano ortogonale Oxy coll’asse y orientato verso l’alto e denotiamo con x 1, y 1 e x n, y n, le
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Infatti in tal caso i lati Q 2 Q 3, Q 3 Q 4,..., Q n-1 Q n del poligono delle forze risultano per diritto, cosicché, qualunque sia per essere la
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Inoltre, fissati a piacimento due punti A i, e B i+1 fra P i e P i+1, (nell’ordine scritto), il tratto di filo A i B i+1 dovrà trovarsi in equilibrio
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(4) Φ i·i+1 = - Φ i+1·i,
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dei singoli tratti P i P i +1 (i = 1, 2,…, n - 1).
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Per dimostrarlo, consideriamo un generico punto P 1 prossimo a P, e cominciamo col valutarne la distanza da un qualsiasi piano π passante per P. A
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le componenti - λ1 a'1.i, - λ1 a''1.i, - λ1 a'''1.i della reazione da esso determinata su P i son date da
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che p 1, e la reazione R 1, dell’appoggio P 1, costituiscano una coppia;
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Accademia della crusca
