Lezioni di meccanica razionale. Volume primo
Dipendendo ciò (n. 12) dal segno della velocità distinguiamo i due casi a > 0 e a 0.
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condizioni iniziali: basta, p. es., prefissare che in un dato istante t o il punto debba passare per una data posizione P 0 (di coordinate x 0, y 0, z 0
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0, g, 0;
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non vi sono sulla spirale altri punti aventi la stessa proprietà. Per fissare le idee, supponiamo che A 0, appartenga al quarto quadrante, e indichiamo
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e questa equazione oraria, mentre per h > 0 o h = 0 si identifica con quella già nota dei moti oscillatori smorzati o, rispettivamente, dei moti
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a) Supposto anzitutto h > 0, notiamo che con questa ipotesi (e con la precedente h 2 > k) sono compatibili le tre eventualità k > 0, k 0 e k = 0.
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Se h 2 > h, h > 0, k 0 le due radici z 1, z 2 sono di segno contrario e si ha precisamente z 1 > 0, z 2 0; talché si rileva immediatamente dalla (51
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C) h 2 = k (il che implica k > 0, salvo il caso h = k = 0).
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Infine se h > 0, k = 0 (la h 2 > k è implicitamente soddisfatta) si ha
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> 0, h 0 . Come in codesto caso, il mobile in genere (cioè per c 1 ≠ 0, c 2 ≠ 0) proviene da distanza infinita e va all’infinito (con o senza
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c) Se h = 0, la h 2 > k implica k 0; e le radici della (50), date da
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non si annulla mai per c 2 = 0 (o per h = 0); e se c 2 ≠ 0 ed h ≠ 0 si annulla soltanto per
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Per h 0 si ottengono i moti inversi di quelli or ora caratterizzati; ed infine, per h = 0 (h = 0) si ricade su di moti uniformi, come risulta dalla
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Invero, designati con v 0, ω, e v 0 *, ω* codesti vettori caratteristici presi rispetto al polo O, abbiamo senz’altro per la (11)
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(15) v 0 x ω = 0,
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e poiché per le (22) stesse le componenti v 0|x, v 0| y secondo gli assi mobili della v 0, si conclude
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Naturalmente, fra le ξ0, η0 definite dalle (23), e le x 0, y 0 definite dalle (23'), sussistono le relazioni (19), come si può ovviamente controllare
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P = P 0 + (t - t 0 ) v ,
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x≥0, y≥0, z≥0
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dove a 0 designa l'accelerazione di P nell'istante t 0;onde si conchiude che la direzione e il senso del moto nell’istante t 0 coincidono con quelli
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Basta applicare la (11') supponendo lo spostamento elementare parallelo ai tre assi; cioè supponendo successivamente dy = dz = 0, dz = dx = 0, dx=dy
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') supponendo lo spostamento elementare parallelo ai tre assi; cioè supponendo successivamente dy = dz = 0, dz = dx = 0, dx=dy=0.
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U = (x, y, z) = U = (x 0, y 0, z 0).
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Per ogni punto x 0, y 0, z 0 del campo passa una superficie equipotenziale ed una sola, cioè, quella di equazione
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prefissando opportunamente certe sei condizioni ulteriori, che consistono per lo più nell’imporre che il punto, in un dato istante t 0, occupi una
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F x dP = Lp 0 p 1 + Lp 0 p,
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F x dP = Lpp 0 + Lp 0 p 1,
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onde, integrando dall’istante t 0 ad un generico istante t del considerato intervallo di tempo, e designando con v 0 la velocità nell’istante t 0
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Se esiste anche un solo spostamento per cui L 0, l’equilibrio si dice instabile, mentre se è sempre L = 0, l'equilibrio si dice indifferente. Se poi
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se x i, y i, z i designano le coordinate dei punti P i del sistema e x 0, y 0, z 0 quelle del baricentro G.
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e proiettata sugli assi dà, per le coordinate x 0, y 0, z 0 di G, le espressioni
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I coefficienti A, B, C hanno un significato ovvio. Essi (come apparisce direttamente dalla (16) ponendovi ordinatamente α, β, γ eguali ad 1, 0, 0; 0
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e siccome per R = 0, si ha Ί = 0, risulterà
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È poi ben noto dalla Geometria analitica che, indicando con x i, y i, z i le coordinate del punto A i, le coordinate x 0, y 0, z 0 del punto C , sono
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q 0 designando la coordinata omologa del baricentro Q 0, o, se si vuole, la componente di Q 0 - O secondo OP. La (21) può così porsi sotto la forma:
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a 0 = 2π fv 0.
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(1) R = 0, M = 0,
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(1) R = 0, M = 0,
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(5) R a = 0, M a = 0.
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(6) F 1 + Φ 1·2 = 0, F n – Φ n-1·n = 0.
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, in quanto risulta τ = 0, F b = Φ 3 = 0, Γ 1 = Γ 2 = 0, alle tre:
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Si noti che per ogni valore di a, inferiore alla portata minima a 0, la freccia più conveniente (quella cioè che rende minimo τ) è legata ad a dalla
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δΛ ≥ 0 e δΛ ≤ 0,
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δz 0 ≤ 0,
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La nostra condizione è allora δz 0 = 0.
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Si richiede dunque per l’equilibrio che i legami consentano al baricentro solo spostamenti per cui risulti δz 0 ≤ 0, o, ciò che è lo stesso, per cui
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= t 0, il punto P si trovi in quiete relativa (v r = 0, per t = t 0), consegue dalla (1) v r = 0 per qualsiasi istante t.
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Detta g 0 la gravità all’equatore (dove λ = γ = 0), si ha dalla prima delle formule scritte
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in un dato istante t 0 (condizione iniziale): se x 0, y 0, z 0 son le coordinate di questa posizione iniziale di P, le equazioni del moto assumono la
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come si rileva dalle (12), imponendo che per t = t0 debba essere x = x 0, y = y 0, z = zo.
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Accademia della crusca
