Fondamenti della meccanica atomica
Si osservi che se f(x) è funzione pari, cioè se f(— x) = f(x), tale è anche C(ω), e se f(x) è dispari, anche C(ω) è dispari. Nel primo caso la (53
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Se una radiazione monocromatica, di lunghezza d'onda λ, si propaga (per onde piane) con velocità V lungo l'asse delle x, una qualsiasi componente f
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Al tempo O, la distribuzione della f lungo l'asse delle x è data da
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delle variabili: esso consiste nel cercare una soluzione u (x, y) che sia il prodotto di una funzione X della sola x per una funzione Ydella sola y
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costante (perchè x ed ydevono poter variare indipendentemente): si hanno così due equazioni a derivate ordinarie per le due funzioni X ed Y. Così il
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ed analogamente si potrebbe ragionare per x e z.
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Si manda nella direzione dell'asse x della luce di frequenza nota v: si raccoglie poi in uno spettroscopio la radiazione diffusa dalla particella nel
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Si osservi che questa deve essere una identità rispetto ad x, y, z, e che, d'altra parte, x, y, z vi figurano solo attraverso la U: dovrà dunque
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all'asse x, ossia che le sue coordinate y e z sono completamente indeterminate, potendo assumere, con eguale probabilità, qualunque valore: solo della
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con . Se si rappresenta con una curva (fig. 24) l'andamento del potenziale U in funzione di x e poi si traccia la retta orizzontale di ordinata E, le
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concava verso l'asse x: viceversa, essa, è convessa verso l'asse x nelle regioni in cui . È intuitivo allora che nelle prime regioni la curva può
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ed introducendo di nuovo la x:
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Calcoliamo ora la curva di probabilità P(x) della posizione al tempo t.
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Analogamente le condizioni di continuità per x = l danno
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Le condizioni di continuità di u e di per x = O danno
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difatti l'equazione diviene allora (dividendola tutta per X Y Z)
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due pareti corrispondano ai piani x=0, x = a: siccome la somma anzidetta si può scrivere nella forma
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Così, affinchè sia anche normalizzata (rispetto alla variabile x), basterà prendere per essa l'espressione
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In questo caso l'equazione (258), per x tendente a , tende alla forma
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È poi comodo introdurre, in luogo delle coordinate cartesiane x, y, le loro combinazioni lineari
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Consideriamo ora un altro caso, il cui interesse risulterà meglio in seguito: quello cioè in cui la x, anzichè rappresentare una coordinata
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dove A e , sono due costanti arbitrarie: il momento coniugato alla x è
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Difatti consideriamo per un momento X come funzione della sola coordinata e teniamo costanti le altre coordinate: la X sarà allora una funzione
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e quindi, sostituendo nell'espressione di X, questa diventa una serie doppia
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Assumiamo un sistema di coordinate cartesiane con gli assi x ed x nel piano (fisso) dell'orbita: il loro legame con le coordinate polari r, si può
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Ora introduciamo un sistema di assi x', ruotanti in modo da accompagnare il moto di precessione: rispetto a questi il moto sarà periodico e quindi
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r da 1 ad N, gli infiniti valori che può assumere una variabile reale x in un intervallo (a, b): potremo dire che consideriamo, invece di N assi, una
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Questo spazio si chiama perciò spazio funzionale. Si può anche dire che la funzione f(x) è rappresentata da un punto nello spazio funzionale e
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Estendiamo ora allo spazio hilbertiano la formula (2): prodotto scalare di due vettori f, g, rappresentanti le funzioni f(x), g(x), o prodotto
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Condizione di ortogonalità dei due vettori f, g (o delle funzioni f(x), g(x)) è che sia , cioè, in conseguenza della definizione (4), che sia
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a) Ogni numero k si può riguardare come un operatore, perchè premesso ad una f(x, y, ...) la muta nel prodotto kf(x, y, ...). Ciò vale, naturalmente
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L'operatore a secondo membro ha, un'interpretazione assai notevole: esso, muta f(x) in f(x ), poichè, per la formula di Taylor,
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Osservazione sugli operatori incompleti. - In un problema in cui intervengano più variabili indipendenti x, y..., un o. l. si dirà completo, se nella
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dove si è indicato con x' l'autovalore (trattandosi, come si vedrà, di autovalori continui). Ora, la (74') è soddisfatta prendendo x' qualunque e
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che si suol giustificare dicendo che per tutti i valori di x per cui non è nullo il primo fattore, è nullo il secondo. Più esattamente diremo che la
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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Altro esempio: la x di una particella (per un determinato t) è un'osservabile che in generale non ha nessun valore numerico, poichè osservandola si
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Risulta senz'altro dalla definizione che un'osservabile X è compatibile con qualunque f(X).
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Passiamo ora alla definizione di una funzione di più osservabili X, Y, Z, ... (relative allo stesso istante). Se queste sono compatibili tra loro, il
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Xr: se invece la X ha uno spettro continuo di valori X', con densità di probabilità P(X'), i valori G' della osservabile G formano uno spettro
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Data un'osservabile X, e data una funzione , l'osservabile G = f(X) è definita dal seguente insieme di operazioni: eseguire l'osservazione X e sul
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Nel caso che invece X, Y, Z,... non siano compatibili tra loro, questo procedimento evidentemente non è più applicabile. Tuttavia, data una funzione
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Data ora una funzione di più variabili F (x, y, z,...) sviluppabile in serie di potenze, si può sempre scrivere ciascun termine della serie in forma
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Donde la regola: «per avere la probabilità , si calcolano le autofunzioni dell'operatore nello spazio delle funzioni della sola x, e si sviluppa la
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e quindi la probabilità di trovare per la x un valore compreso fra x' e x' + dx', a norma della (99),
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a) Caso di = x. Se l'osservabile G è una delle coordinate della particella, p. es. x, l'operatore che ad essa corrisponde è, come ora mostreremo, la
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dx'ffi y(x', y, z, t) 12 dydz,
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dove i coefficienti A, B, C sono funzioni analitiche della x, che supporremo reali per x reale. Poichè A è da supporsi non identicamente nulla, si
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Ricorderemo anzitutto che qualunque soluzione y(x) è certamente regolare (ossia sviluppabile in serie di potenze intere e positive della x) per tutti
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Si dice che un'equazione differenziale del tipo (1) è in forma autoaggiunta se fra i coefficienti A(x) e B(x) passa la relazione B = A', cosicchè i
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Accademia della crusca
