Fondamenti della meccanica atomica
(l) Veramente, quando è stata fatta questa osservazione si disponeva solo di un valore approssimativo per N, e quindi la coincidenza era solo
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all'altra; con questa convenzione si potrà dire che: ad ogni autovalore corrisponde una autofunzione, e che queste sono tutte ortogonali tra loro.
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Si può considerare questa formula come la analoga della (35): la variabile continua [simbolo eliminato] , che può variare da [simbolo eliminato] ad
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(2) Estendendo il concetto di integrale nel senso di Stieltjes, si potrebbe scrivere questa formula, come tutte quelle analoghe, col solo integrale
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Questa equazione vale, a rigore, solo per onde «monocromatiche», ossia di una sola frequenza. Il principio di sovrapposizione permette però, come si
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Si osservi che questa deve essere una identità rispetto ad x, y, z, e che, d'altra parte, x, y, z vi figurano solo attraverso la U: dovrà dunque
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(1) Molti autori scrivono questa formula col segno + all'esponente: ciò non porta nessuna differenza sostanziale, salvo alcuni cambiamenti di segno
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in cui i coefficienti sono indipendenti dall'indice n: perciò questa equazione è soddisfatta da tutte le componenti e dunque anche da qualsiasi loro
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È questa l'espressione cercata per la densità di flusso (probabilistica).
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(Questa formula, che nella teoria di Bohr costituiva un postulato a sè, viene invece dedotta, nella teoria di Dirac, dai principi generali della
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In questa formula, rappresentano tre integrali in cui entrano le autofunzioni dei due stati stazionari, iniziale e finale, e precisamente
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Perchè questa sia identicamente soddisfatta, devono annullarsi tutti i coefficienti, il che dà per le la formula ricorrente
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Questa equazione ben nota si può integrare col metodo della separazione delle variabili, cioè ponendo
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Si può poi anche dimostrare che questa condizione è non solo sufficiente ma anche necessaria (1) V. BECHERT, Ann. d. Phys., 83, 906 (1927). , cioè
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Si osservi che i polinomi di Laguerre non sono autofunzioni di questa equazione, nè sono ortogonali: però godono la proprietà (che si può dimostrare
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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Questa funzione è evidentemente un polinomio di grado K — j, e si chiama talvolta «polinomio generalizzato di Laguerre»: esso è definito da
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A questa equazione si può applicare ancora lo stesso procedimento, e così si riconosce, derivando j volte, che la funzione , cioè la derivata j-esima
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dove è una costante arbitraria. Si tratta ora di trovare una soluzione di questa equazione, che contenga, oltre ad altre costanti arbitrarie
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Ora, sommando le due ultime condizioni di Sommerfeld (324), (325), e tenendo conto di questa identità, si ottiene
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L'effetto del movimento del nucleo è quindi quello di sostituire la costante di Rydberg R con quella, lievemente minore, . Questa correzione
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nella direzione della propagazione della luce. Una riprova sperimentale diretta della esattezza di questa ipotesi è fornita dall'effetto Compton e da
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questa funzione sono eguali alle frequenze corrispondenti ai singoli gradi di libertà:
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Si deve però osservare che, mentre questa definizione si può senz'altro adottare se e sono permutabili, richiede invece qualche avvertenza se non lo
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Questa proprietà, equivalente alla (34), caratterizza le matrici che diconsi unitarie.
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Prendendo il coniugato della seconda sommatoria e scambiando tra loro gli indici m ed n, si riconosce che, in virtù della (46 '), questa sommatoria
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Confrontando questa con la (62), si ricava
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Una matrice, come questa, in cui tutti gli elementi sono nulli tranne quelli sulla diagonale principale (elementi diagonali) dicesi matrice diagonale
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Ora, si vede subito che questa equazione può essere soddisfatta prendendo
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un autovalore multiplo) l'ampiezza di probabilità che una misura di G dia il risultato Gr. Vale a dire, chiamando questa componente, cioè ponendo
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Questa equazione ha per autovalore qualunque valore di , e dà, con immediata integrazione,
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La regola data al § precedente per trovare l'operatore corrispondente a una data osservabile G suppone che questa venga espressa mediante le
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Questa espressione si ottiene non dalla (105), ma dalla seguente (che algebricamente equivale a quella):
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(1) Nel caso unidimensionale, p. es., posto (con e reali) si verifica subito che questa condizione è soddisfatta dall'operatore
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e che la corrisponde all'autovalore 0. Naturalmente anche qualunque funzione di questa G soddisfa la condizione voluta. (v. E: FERMI, N. Cim., VII
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Questa equazione non è altro che la (223') del § 46, p. II, cioè l'equazione differenziale delle funzioni sferiche ( corrisponde a ), e i suoi
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e ci dice che le quantità formano una successione aritmetica, di ragione : il primo elemento di questa successione è dato dalla, (163) ed è
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dove le sono coefficienti costanti che nel loro insieme definiscono l'effetto della perturbazione su . Sostituendo questa espressione nella (170) e
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Nello sviluppare questa espressione si osservi che, per la (190) e la prima delle (182),
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In corrispondenza a questa rappresentazione, è conveniente rappresentare gli operatori mediante matrici, osservando che essi hanno solo due
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e, affinchè questa si riduca alla matrice unitaria, deve aversi , cioè , con reale (arbitrario). Ragionando in modo analogo per , si conclude che
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sostituendo questa espressione nella (255) si ha, con facile calcolo,
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teoria della relatività, e uguale a : tra questa W la E usata finora vi è dunque la relazione: . W si ha
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Ricordiamo inoltre che la soddisfa l'ordinaria equazione di Schrödinger (v. pag. 395) e che questa, per uno stato stazionario di energia E, ammette
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Questa equazione sarà soddisfatta se la matrice S è tale che sia
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Da questa teoria risulta evidentemente che deve essere possibile la creazione di una coppia elettrone-positrone, e questo fenomeno sarebbe in certo
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anche (2, 1) è una autofunzione appartenente allo stesso autovalore, perchè questa equazione è ancora soddisfatta se nella yn si scambiano le con le .
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possono essere al più due elettroni aventi questa tema di numeri quantici orbitali (o, come si dice brevemente, questa «orbita»). In questa forma fu
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, vi è un tripletto di autofunzioni della forma e una autofunzione singola della forma : vale a dire, i livelli tripli corrisponderebbero in questa
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questa quantità per il numero di Avogadro () si ottiene la carica di ciascuno ione monovalente, e si trova cbe coincide col valore testè riportato
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Accademia della crusca
