Fondamenti della meccanica atomica
dove cn è una costante arbitraria: sostituendo nella (22) si ha
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Così una coppia di soluzioni indipendenti, ortogonali e normalizzate si ha (per n ≠ O) prendendo nella (22)
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Sostituendo nella (69) l'espressione così trovata per l'integrale rispetto a k, essa diviene
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Così abbiamo ottenuto l'integrale che figura nella (68), la quale perciò diviene
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(1) Ciò vale solo nella meccanica non relativistica: tenendo conto della relatività si ha invece modo di fissare E anche in valore assoluto, e
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(Questa formula, che nella teoria di Bohr costituiva un postulato a sè, viene invece dedotta, nella teoria di Dirac, dai principi generali della
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intendiamo che nella U, nella ed in tutte le altre quantità che eventualmente interverranno, figura (oltre t) una sola delle coordinate spaziali, p
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Potremo porre nella (145) U = O, e allora, ponendo per brevità
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L'equazione di Schrödinger sarà, nella regione I, ancora la (148), mentre nella regione II avrà la stessa forma salvo che in luogo di k vi figurerà
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(con k' e reali) e scriveremo la (174') nella forma
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Nella trattazione ondulatoria, dovremo invece osservare che in questo caso e sono immaginari: perciò porremo
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Sostituendo la (185) nella (183') si trova per v l' equazione
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Sostituendo queste espressioni nella (197) si ha la relazione tra e :
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e di posizione totalmente indeterminata. Esprimendo nella (210) k e v mediante p, essa diviene
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Sostituendo la (233) nella (232) si trova per P l'equazione
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dove è un polinomio di grado n' soddisfacente l'equazione differenziale (264), che scriveremo ora nella forma
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che si può considerare come un'equazione di secondo ordine nella funzione , cioè : questa dunque soddisfa l'equazione
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La funzione è riportata graficamente nella fig. 41 per gli stessi stati della fig. 40.
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Nella II regione la (299) si potrà anche scrivere (ponendo )
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dove è una costante per ora indeterminata, e che non ci interessa. Questa espressione si deve ricollegare ad una della forma (301), valida nella
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Nel caso dei sistemi idrogenoidi, i livelli delle varie colonne coinciderebbero tutti (nella nostra approssimazione) e perciò si rappresentano in una
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d) Il simbolo (con costante) è un operatore che muta ogni funzione integrabile f nella funzione
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Sostituendo nella (20) abbiamo
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Sostituendo nella (27), e ricordando che le y sono ortogonali e normalizzate, si ha
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Sostituendo questa, insieme alla (48), nella condizione di hermiticità (46), si ricava
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Cominciamo con l'osservare una analogia formale tra l'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari, che scriveremo nella forma
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L'analogia consiste in questo: se nella (80) si sostituiscono materialmente le variabili
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Dunque lo spezzarsi dell'hamiltoniana nella somma di N termini ciascuno dei quali dipende dalle coordinate di una sola particella porta con sè la
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Applichiamo questo risultato per ritrovare, generalizzandolo e precisandolo, il principio che un pacchetto d'onde si muove come un punto nella
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che, introducendo le notazioni vettoriali anche per gli operatori, si riassumono nella formula
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Sostituendo nella (128), si trova
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Quindi nella (162) deve prendersi , e l'espressione degli autovalori dell'energia, diviene
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che, sostituiti nella (221), ci danno lo stato perturbato in prima approssimazione.
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nella forma generica hermitiana
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che si ottiene immediatamente sostituendo nella (242) le (241) e (241').
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Verifichiamo anzitutto che questa equazione, nella approssimazione non relativistica, cioè quando c si può considerare assai grande rispetto alle
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sostituendo questa espressione nella (255) si ha, con facile calcolo,
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Sostituendo queste derivate nella espressione di si ha
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si riassumono nella formula vettoriale
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Nel caso generale, si trova che la magnetizzazione equivalente è data, nella stessa approssimazione, da
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(304) e (305) si possono compendiare nella formula:
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dove le sono infinitesime del 1° ordine: la (314) si traduce nella condizione di emisimmetria:
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sostituendo questa nella (327), e tenendo presente la (303') la formula che definisce diviene:
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Le tre prime autofunzioni corrispondono (nella nostra approssimazione) all'autovalore
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Questa teoria permette di spiegare molte particolarità del fenomeno della risonanza, che restano inesplicate nella teoria classica.
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Ricavando , e sostituendolo nella (29) si ha
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poichè l'angolo di incidenza nella superficie è, come si vede dalla figura, 2φ.
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Ricavando dalla (32) e sostituendolo nella (33) si ha
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e nella (26) la massa mdiviene funzione di v secondo la legge
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Allora la (15) e la (17) si compendiano nella formula
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Accademia della crusca
