Fondamenti della meccanica atomica
scegliere i coefficienti α,β in modo che risulti
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come due autovalori E1, E2 coincidenti, ed a ciascuno di essi far corrispondere, nel modo spiegato sopra, una autofunzione normalizzata ed ortogonale
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tenendo conto del valore sopra riportato dell'integrale, si vede che la costante di normalizzazione αλ va allora presa in modo che sia
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espressione (32); la funzione fλ (che figura sotto il segno di integrale in modo analogo alle fn il segno di sommatoria) si determina analogamente nel
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In modo perfettamente analogo definiremo come centro del gruppo d'onde il punto x dato da:
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Questo integrale si può mettere in relazione con Δk nel modo seguente.
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In. modo analogo, considerando f(r, t) come funzione solo di t (cioè fissando l'attenzione su un determinato punto dello
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dove è definita in modo analogo a ecc., e in modo analogo a ecc.: se dunque si tratta di un pacchetto di onde limitato, si può dire che misura la
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(dove l'integrale è esteso a tutto il campo S, e dS = dx dy), la quale si dimostra in modo perfettamente analogo a quello seguito nel caso di una
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(1) Ciò vale solo nella meccanica non relativistica: tenendo conto della relatività si ha invece modo di fissare E anche in valore assoluto, e
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e la funzione dovrà essere determinata in modo da soddisfare l'altra condizione iniziale, e cioè che sia
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In particolare, si possono determinare le in modo da costituire un piccolo gruppo d'onde, e allora si trova che questo si muove di moto alternativo
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e cercheremo di determinare v in modo che l'equazione sia esattamente soddisfatta, e che inoltre la u si conservi finita anche all'infinito, per il
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Si vede di qui che, fissato , il coefficiente di trasmissione varia in modo periodico col variare di l (spessore della barriera): per cos ossia per
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Ricordando ora il principio di sovrapposizione, possiamo interpretare nel modo seguente la soluzione (213): quando lo stato della particella è
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determinando poi la costante in modo che risulti
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e, poichè , e i due ultimi fattori si sono già normalizzati conformemente alle (231) e (244), risulta che R dovrà essere normalizzato in modo che sia
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L'interesse di queste funzioni sta nel fatto che esse sono soluzioni di una notevole equazione differenziale, come può vedersi nel modo seguente
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È interessante farsi, mediante le formule precedenti, un'idea intuitiva del modo come è distribuita intorno al nucleo la funzione uu* cioè la «nuvola
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Passando a considerare la regione III si riconosce, in modo analogo al precedente, che affinchè la u si annulli per , nella regione III deve mancare
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Anche questo risultato coincide (casualmente) in modo perfetto con quello fornito dall'integrazione rigorosa dell'equazione di Schrödinger
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in modo da semplificare il calcolo: p. es. per , cui corrisponde si trova allora
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Si osservi pure che l'ipotesi dei «quanti di luce» è distinta da quella dei quanti di Planck: la prima infatti si riferisce al modo col quale
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risultati delle osservazioni eseguite sull'elio e sull'idrogeno: tuttavia questa coincidenza si deve ritenere, in certo modo, fortuita.
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Si possono inoltre definire in modo ovvio le operazioni di somma, differenza, ecc.
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In modo analogo si definisce la differenza di due o. l., e la somma di un numero qualunque di essi.
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Per ottenere le formule inverse si potrebbero risolvere queste rispetto alle ma è più conveniente operare in modo simmetrico, cioè considerare le
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la quale, confrontata con la (35), mostra che si passa dalle f alle f" mediante la matrice nel modo stesso con cui la matrice fa passare dalle f alle
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(2) Il concetto di probabilità si deve intendere qui precisato nel modo spiegato nella nota al § 25 p. II.
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hilbertiano: si scorgerà in questo modo la via per importanti generalizzazioni.
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In modo analogo si ragiona per il caso che entrambi gli operatori siano degeneri o incompleti, nel qual caso il legame tra i risultati delle due
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col tempo in modo da soddisfare le equazioni della dinamica.
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Si tratta dunque di determinare gli elementi delle matrici e (riferite allo schema in modo che valga la relazione di permutazione
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Altre due relazioni analoghe a questa si ricaverebbero nello stesso modo: le componenti dello spin sono dunque anticommutative. Tenendo poi conto di
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e, affinchè questa si riduca alla matrice unitaria, deve aversi , cioè , con reale (arbitrario). Ragionando in modo analogo per , si conclude che
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dove, estendendo in modo ovvio la notazione del prodotto interno, si è indicato col simbolo H l'operatore (o matrice)
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L'operatore hamiltoniano così formato, permette poi di scrivere, nel modo solito, l'equazione per la , e cioè
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Se ora supponiamo il campo magnetico diretto secondo l'asse z, e risolviamo il sistema (249) (determinando la costante di normalizzazione in modo che
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In questa sommatoria doppia, i sei termini in cui si possono riunire due a due nel modo seguente. Si considerino p. es. i due termini : in virtù
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eguale a e diretto in senso opposto allo spin: ciò si vedrà in altro modo nel § seguente.
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(che, come si vedrà, costituiscono anch'esse le componenti di un quadrivettore invariante, cioè la «tetracorrente») si esprimono in modo uniforme
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Dimostriamo ora che, costruita la S in tal modo, la si trasforma con la legge:
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in modo unico, perchè allo stesso campo elettromagnetico si possono attribuire (come si verifica subito) anche i potenziali
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Un secondo modo di soddisfare le (334) consiste nel prendere le della forma
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Se per ogni eventuale autovalore multiplo il sistema fondamentale di autofunzioni viene scelto nel modo descritto, si ottiene un sistema completo di
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Si estende poi immediatamente al caso di più particelle il ragionamento fatto a pag. 471, per dimostrare che il sistema non può passare in alcun modo
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(la sommatoria essendo estesa a tutte le permutazioni ), ed una antisimmetrica, la quale si può scrivere sotto forma di determinante nel modo
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dove l'operatore corrisponde all'energia mutua delle due particelle, e quindi contiene in modo simmetrico le variabili e le (p. es., se l'azione
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Variando le condizioni dell'esperienza si può tuttavia fare in modo che ciò non accada (occorre perciò diminuire la pressione del gas) e allora nella
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In questa teoria la discontinuità nasce in modo del tutto naturale dal procedimento matematico, in modo abbastanza simile a quello col quale, in
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Accademia della crusca
