Fondamenti della meccanica atomica
Essa rientra evidentemente nel tipo (14), ed in questo caso il procedimento del § 1 è praticamente effettuabile, perchè si conosce l'integrale
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Se si calcola, mediante la (36), l'integrale di ff* esteso a tutto l'intervallo (-l, l), si trova facilmente
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Se invece i due intervallini hanno in comune un tratto Δλ, l'integrale risulta uguale a
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tenendo conto del valore sopra riportato dell'integrale, si vede che la costante di normalizzazione αλ va allora presa in modo che sia
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(2) Estendendo il concetto di integrale nel senso di Stieltjes, si potrebbe scrivere questa formula, come tutte quelle analoghe, col solo integrale
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corrispondenza degli autovalori continui un integrale invece di una serie. Riferendoci, per maggior generalità, al caso che esistano tanto gli autovalori
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e se f(x) all'infinito diviene infinitesima di ordine sufficiente, si può invertire il segno di lim con quello di integrale e si ha
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espressione (32); la funzione fλ (che figura sotto il segno di integrale in modo analogo alle fn il segno di sommatoria) si determina analogamente nel
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Se poi la radiazione, osservata allo spettroscopio, dà uno spettro continuo anzichè uno spettro di righe, dovremo rappresentarla con un integrale
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dove l'integrale
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Questo integrale si può mettere in relazione con Δk nel modo seguente.
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Sostituendo nella (69) l'espressione così trovata per l'integrale rispetto a k, essa diviene
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Così abbiamo ottenuto l'integrale che figura nella (68), la quale perciò diviene
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spazio) e sviluppandola in integrale di Fourier, si troverebbe la relazione
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La ragione della distinzione sta nel comportamento delle soluzioni nell'intorno del punto : nel caso della singolarità fuchsiana qualunque integrale
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(dove l'integrale è esteso a tutto il campo S, e dS = dx dy), la quale si dimostra in modo perfettamente analogo a quello seguito nel caso di una
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Rileviamo fin d'ora che l'integrale di P esteso a tutto lo spazio esprime la probabilità totale che la particella venga trovata in un punto qualsiasi
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Il caso più generale è quello in cui vi sono autovalori discreti e autovalori continui, nel qual caso la sarà la somma di una serie e di un integrale
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serie sarà sostituita da un integrale, cioè
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(prendendo la normale diretta verso l'interno). Trasformando l'integrale di volume in uno di superficie si ha
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con k costante: essa è l'equazione studiata nel § 8 ed ha per integrale generale
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La prima delle (205) ha un integrale generale del tipo
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dove l'integrale è esteso a tutta, la, superficie sferica.
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il cui integrale generale è
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ed è quindi uguale a zero salvo il caso che l'esponente si annulli, cioè che sia , nel qual caso l'integrale è uguale ad 1. Similmente, il secondo
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(dove il limite inferiore dell'integrale è un valore qualunque, ma fissato, di x). Si verifica subito infatti, sostituendo nella (291), che la y deve
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Da ciascuna delle due Y cosi trovate si otterrà, mediante la (293), un integrale (approssimato) della (291), e quindi un integrale qualsiasi di
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, sotto un'altra forma, mediante un integrale definito: questa soluzione (che non presenta singolarità per ) si deve riattaccare con continuità da una
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indicando con l'integrale esteso ad un periodo. La condizione di quantizzazione è dunque, in questo caso, esattamente la (303') anzichè la (303).
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restrizione a queste costanti, obbligandole a soddisfare alle seguenti f condizioni: per ciascuna coordinata, si calcoli l'integrale (detto integrale di
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(1) Si può infatti dimostrare facilmente che l'integrale a primo membro non è mai negativo.
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e poichè l'ultimo integrale vale , risulta
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(e contiene, come si vede, una sola delle due costanti di integrazione). Calcoliamo ora l'integrale di fase
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dS = dx e l'integrale è semplice). Si noti che l'integrale (3) non è sempre convergente: siamo perciò condotti a considerare d'ora innanzi solo
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dove si è indicato, come faremo sempre, con un semplice segno di integrazione l'integrale, generalmente multiplo, esteso a tutto il campo S, e con dS
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Osservando che la prima delle differenze in parentesi è la derivata della seconda, e calcolando per parti il primo integrale si ha (se la f si
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Infatti, se l'intervallo non contiene la funzione è nulla in tutto l'intervallo, e quindi l'integrale è nullo: se poi l'intervallo (a, b) contiene
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e quindi la (97') si trasforma nell'integrale seguente (dove scriviamo y in luogo di ):
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Calcoliamo ora la stessa probabilità mediante il principio di sovrapposizione: se si decompone la in integrale di FOURIER (considerandola solo come
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Analogamente, in meccanica quantistica definiremo come integrale primo un'osservabile G tale che la sua derivata definita da (118) sia identicamente
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Nella meccanica classica si chiama integrale primo di un problema una espressione G (q, p) tale che si riduca a una costante se le q e le p variano
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Si vede subito che l'energia è un integrale primo se ( e solo se ) , cioè se l' hamiltoniana non contiene esplicitamente il tempo: si dirà in tal
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ed esprime che: condizione necessaria e sufficiente perchè una osservabile G (non contenente t) sia un integrale primo è che il suo operatore sia
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Si riconosce poi che, se la forza è centrale, è un integrale primo (come in meccanica classica). Difatti l'operatore per una particella è (v. § 19)
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Come si vede, questa derivata non risulta identicamente nulla, il che significa che non è un integrale primo. Consideriamo ora l'osservabile , il cui
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e cioè che l'osservabile è un integrale primo, come si era annunciato. Analogo ragionamento si potrebbe fare per le componenti y e z: se ne conclude
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(1) Il caso corrisponde al caso in cui l'integrale di scambio è nullo; v. nota al paragrafo precedente.
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Questo non è altro che l'integrale di scambio definito al § precedente, fatto però tenendo conto solo delle autofunzioni in x, y, z, senza i fattori
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seguono: esse hanno questo di caratteristico, che se y(x) è un integrale che le soddisfa, anche cy(x), dove entra una costante arbitraria, è un integrale
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Consideriamo p. es. il caso delle condizioni (α). Utilizzando l'espressione (2) dell'integrale generale, si tratta di ricercare due valori, non
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Accademia della crusca
