Fondamenti della meccanica atomica
dove cn è una costante arbitraria: sostituendo nella (22) si ha
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è sempre > O. Sviluppando questa espressione si ha
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): questo ha infatti la stessa direzione di k e la grandezza : si ha quindi
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e poichè si ha (prescindendo dal segno) , la precedente dà
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si ha:
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Da queste e dalle (96) si ha, per moltiplicazione
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Da questa e dalla (101) si ha allora, conformemente a (94')
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Poichè v si suppone noto, la vx resta determinata con la stessa esattezza con cui si ha la dalla (106), la quale esattezza dipende dalla precisione
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cosicchè si ha
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Identificando le due espressioni di 1/v ha, con ovvia riduzione,
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si ha la condizione seguente, puramente geometrica, per determinare la traiettoria:
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Integrando, si ha dunque per E(v) l'espressione lineare
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Si osservi che se l'elettrone si trova in uno stato di quelli che al § 29 abbiamo chiamato « semplici», cioè se la sua energia ha un valore ben
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Per una particella in moto progressivo si ha dunque
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Sostituendo queste espressioni nella (197) si ha la relazione tra e :
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si ha invece
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La prima delle (205) ha un integrale generale del tipo
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di trovare le componenti dell'impulso comprese tra e . La funzione ha dunque, rispetto alle misure di impulso, lo stesso significato che ha la
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(con che risulta intero e non negativo), si ha la (225).
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e non dipende da , ossia ha simmetria assiale.
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In tal caso si ha dalla espressione di e dalla (218):
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Introducendo le coordinate polari si ha evidentemente
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(1) Talvolta un operatore è definito solo per certe determinate classi di funzioni, mentre per altre non ha senso. P. es., l'operatore ha senso per
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Calcoliamo il fattore entro parentesi: si ha, per la (21)
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Sostituendo per la (35) si ha
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(F simbolo di funzione analitica), si ha anche nel secondo sistema
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Difatti, dette le componenti di g, si ha, analogamente alla (48),
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Sommando le ultime due, e badando alla definizione (50) si ha
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Dimostrazione.- Per ipotesi si ha
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Si ha evidentemente
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e non sono evidentemente permutabili, poichè per qualunque funzione f si ha
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Questa formula si può trasformare, poichè dalla (114) si ha che : inoltre essendo e una costante, si ha
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Ma, esssendo hermitiano, si ha (v. § 9):
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Identificando G con una coordinata si ha, dalla (118')
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(1) L'arbitrarietà di rispecchia l'arbitrarietà della «fase» di e non ha conseguenze pratiche. Difatti, posto (con reale e piccolo del I ordine), si
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si ha
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quindi, perchè sia , deve essere . Si ha poi
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(252) si ha , da cui : sostituendo nell'espressione dell'energia si ha la (251).
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sostituendo questa espressione nella (255) si ha, con facile calcolo,
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Sostituendo queste derivate nella espressione di si ha
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Introducendovi la (303') e tenendo conto delle (298) si ha
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si ha
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Infatti, la matrice S così definita ha la proprietà seguente :
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+ dt ha lo stesso carattere di simmetria o antisimmetria che ha la al tempo t.
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Si ha
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Si ha quindi
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Si ha in tal caso una riflessione selettiva.
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Ricavando , e sostituendolo nella (29) si ha
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Ricavando dalla (32) e sostituendolo nella (33) si ha
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Moltiplicando questa per yne la (16) per , e sottraendo, si ha
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Accademia della crusca
