Fondamenti della meccanica atomica
che sono gli autovalori cercati.
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Gli autovalori sono dunque
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Si è dunque in un caso di degenerazione: gli autovalori sono doppi (eccetto l'autovalore O).
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dopo la diffusione (se chiamiamo gli angoli formati con gli assi coordinati dalla direzione nella quale il quanto è stato diffuso) l'impulso del
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che chiameremo equazione unidimensionale di Schrödinger (per gli stati stazionari).
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Si tratta di trovare gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione, per l'intervallo da a .
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Dunque: gli autovalori della (183') sono tutti i numeri dispari positivi.
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La funzione è riportata graficamente nella fig. 41 per gli stessi stati della fig. 40.
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Riassumendo, fissato n, il quanto azimutale k può assumere solo gli n valori
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dove c è una costante ed f una funzione qualunque. Per esempio, tra gli operatori citati sopra, sono lineari gli operatori , mentre non sono lineari
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È evidente che valgono per gli operatori gli ordinari teoremi sulle potenze, p. es. = (n, m interi, positivi, nulli o negativi), ecc.
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che si può anche scrivere, scambiando gli indici di sommatoria,
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cioè: gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale sono coniugati. (In particolare, gli elementi della diagonale principale
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Gli autovalori di un o. l. hermitiano sono (come si dimostrerà,
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teorema, cosicchè si può dire in tal caso: gli o. l. ed hanno gli stessi autovalori e le stesse autofunzioni.
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Una matrice, come questa, in cui tutti gli elementi sono nulli tranne quelli sulla diagonale principale (elementi diagonali) dicesi matrice diagonale
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Dunque: gli autovalori dell'operatore x sono tutti i numeri reali x', e ad ognuno di essi corrisponde un asse individuato dalla funzione (75). Tali
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Cominciamo con l'osservare una analogia formale tra l'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari, che scriveremo nella forma
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rispettivamente con gli operatori (hermitiani)
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e applicando gli operatori ottenuti alla .
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a cui corrisponde la relazione analoga tra gli operatori (indicando con l'operatore che corrisponde all'osservabile G):
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che, introducendo le notazioni vettoriali anche per gli operatori, si riassumono nella formula
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Sono questi gli autovalori cercati, e gli stessi si troverebbero per ed .
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L'equazione di Schrödinger per gli stati stazionari è dunque per una particella nel campo magnetico:
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diagonale: se dunque ci riferiamo a questo schema, si tratta di determinare gli elementi delle matrici e in modo che queste soddisfino le relazioni di
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risulti diagonale. Traducendo queste uguaglianze tra matrici in uguaglianze tra gli elementi corrispondenti, e indicando con En gli elementi
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e queste si traducono nelle seguenti relazioni tra gli elementi delle matrici
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dove è una costante che determineremo in seguito. Numerando in tal modo gli autovalori, la condizione (160) è soddisfatta solo per : quindi le
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Per gli elementi della matrice si può dunque prendere (1) Si potrebbe naturalmente aggiungere a queste espressioni un fattore della forma , con
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(1) Si potrebbe naturalmente aggiungere a queste espressioni un fattore della forma , con arbitraria, ma gli autovalori risulterebbero, come si
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Ciò premesso, l'equazione di Schrödinger per gli stati imperturbati si scriverà (indicando come prima con l'operatore hamiltoniano imperturbato):
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Questa relazione si traduce nella seguente relazione tra gli elementi (ricordando che gli elementi di sono della forma , e quelli di devono risultare
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Gli elementi diagonali restano arbitrari (purchè reali) e si possono prendere nulli.
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Da questa relazione si traggono intanto gli autovalori perturbati, anche senza determinare le : difatti, per essa diviene
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rappresentano gli elementi della «matrice di perturbazione», e si possono anche scrivere, in virtù della (219),
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gli elementi della matrice di perturbazione risulteranno (v. form. 224 e 225):
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Sostituendo con gli operatori corrispondenti , questa espressione si trasforma nell'operatore
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e, per gli stati stazionari
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la quale, introducendo gli operatori
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che si potrebbero anche scrivere, esplicitando gli operatori,
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Applicando gli operatori definiti al § 50 si trovano subito le formule:
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Gli operatori si possono scrivere in forma più simmetrica introducendo in luogo di t la variabile
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Per raccogliere i primi due termini in un'unica sommatoria, conviene definire gli operatori
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Sarà allora (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore)
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, nell'evoluzione di un dato sistema possono presentarsi stati di una sola delle due classi (come si dirà più avanti, per gli elettroni e i protoni sono gli
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e gli elementi della matrice di perturbazione sono dati da
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Questi risultati sperimentali sono in eccellente accordo con la teoria esposta nei §§ precedenti: gli atomi del parelio sono quelli a spin
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L'interpretazione classica della risonanza, dalla quale è derivato il nome del fenomeno, è la seguente. Gli atomi del vapore conterrebbero degli
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α) la y si deve annullare ad entrambi gli estremi:
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β) la y deve assumere gli stessi valori ai due estremi e così la :
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Accademia della crusca
