Fondamenti della meccanica atomica
con coefficienti interi. Quando vi siano g relazioni di questo tipo, il sistema dicesi g volte degenere: se il moto di un sistema a f gradi di
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Lettera usata:s p d f g h...
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si può definire il prodotto scalare di due vettori f, g:
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Estendiamo ora allo spazio hilbertiano la formula (2): prodotto scalare di due vettori f, g, rappresentanti le funzioni f(x), g(x), o prodotto
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Condizione di ortogonalità dei due vettori f, g (o delle funzioni f(x), g(x)) è che sia , cioè, in conseguenza della definizione (4), che sia
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Proiezione del vettore f sul vettore g è il numero
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dove f, g sono due funzioni qualunque (1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si
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Difatti, dette le componenti di g, si ha, analogamente alla (48),
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Di qui ricaviamo facilmente un'altra proprietà degli operatori hermitiani: per due funzioni qualunque f e g, si ha, se è hermitiano (e solo se è tale):
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Infatti, dalla (49) si ha, ponendo al posto di g (vettore arbitrario) ,
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Similmente si troverà la formula (ottenibile dalla precedente con lo scambio di con e di f con g)
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(1) Si considera qui, per semplicità di scrittura, il caso di valori discreti, ma le G' possono anche costituire un sistema continuo, come p. es
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Data un'osservabile X, e data una funzione , l'osservabile G = f(X) è definita dal seguente insieme di operazioni: eseguire l'osservazione X e sul
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Xr: se invece la X ha uno spettro continuo di valori X', con densità di probabilità P(X'), i valori G' della osservabile G formano uno spettro
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diremo che G è la somma di X, Y, Z,..., e scriveremo (1) Questa definizione non permette di costruire il procedimento di misura di G conoscendo
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Dalla definizione di somma si può passare a quella di « prodotto simmetrizzato», cioè di . Difatti, supposto che esista un'osservabile G tale che G
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Ammettiamo perciò il seguente postulato: ad ogni osservabile G si può far corrispondere un operatore lineare hermitiano che ha le seguenti proprietà
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probabilità). Se l'operatore ha invece uno spettro continuo di autovalori, indicheremo uno generico degli autovalori continui con G', anzichè con Gr, e
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un autovalore multiplo) l'ampiezza di probabilità che una misura di G dia il risultato Gr. Vale a dire, chiamando questa componente, cioè ponendo
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Naturalmente, se avesse degli autovalori continui G', nella si dovrebbe sostituire l'indice discreto r con la variabile continua G', e si dovrebbe
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Resta da vedere come si determina l'operatore corrispondente a una data osservabile G. Procediamo a tal uopo per via di generalizzazioni successive.
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b) Caso di G = px. Se l'osservabile G è una componente dell'impulso, p. es. , possiamo verificare che l'operatore corrispondente è
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operatore , con autovalori Ar e autofunzioni . Sia poi G un'altra osservabile definita come funzione di A, cioè G = F(A): i possibili risultati di una
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(dove G' è un parametro): gli autovalori di questa equazione danno i possibili risultati di una misura dell'osservabile G, e, dette le corrispondenti
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La regola data al § precedente per trovare l'operatore corrispondente a una data osservabile G suppone che questa venga espressa mediante le
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e che la corrisponde all'autovalore 0. Naturalmente anche qualunque funzione di questa G soddisfa la condizione voluta. (v. E: FERMI, N. Cim., VII
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Dalla (109) e dalla (110) si ricavano, per una G della forma , le relazioni di permutazione seguenti (che comprendono come casi particolari tutte
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Se in ciascun sistema dell'insieme la misura dell'osservabile G può dare i risultati Gr con le rispettive probabilità Pr, il valore medio di tutti i
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La (115') dà, in particolare, se G è una coordinata cartesiana ,
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e, se G è una componente cartesiana dell'impulso
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si può definire come derivata G dell' osservabile G l' espressione poichè tale scrittura non ha senso, essendochè e Gt non rappresentano due numeri ma
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Alla derivata G definita dalla (118), o meglio al differenziale , si può dare un'interpretazione espressiva con la considerazione seguente. Si
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Se G non dipende esplicitamente da t, nel secondo membro mancherà il primo termine.
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a cui corrisponde la relazione analoga tra gli operatori (indicando con l'operatore che corrisponde all'osservabile G):
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Identificando G con una coordinata si ha, dalla (118')
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all'autovalore g', cioè che
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Analogamente, in meccanica quantistica definiremo come integrale primo un'osservabile G tale che la sua derivata definita da (118) sia identicamente
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ed esprime che: condizione necessaria e sufficiente perchè una osservabile G (non contenente t) sia un integrale primo è che il suo operatore sia
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Si può dimostrare che se G è un integrale primo, i suoi autovalori sono costanti (anche se G contiene esplicitamente t) e inoltre, sebbene gli assi
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a priori, ma (eventualmente) un'altra osservabile G. Si può anzi dimostrare (1) V. E. FERMI, Rend. Acc. Linc., XI, serie 60, 1° sem. 1930, p. 980, o
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Se poi G è una funzione delle q e delle p della forma
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Si deve partire, come nel § 22, dall'espressione analitica dell'osservabile G in funzione delle q e delle p, espressione che tiene luogo di
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Ciò premesso, vediamo come si imposta col metodo delle matrici la ricerca degli autovalori di un'osservabile G (che, in particolare, può essere
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un'osservabile G, quando il sistema è nello stato , è data, come si è visto, da , dove non dipende dalla ma solo dall'osservabile G e dal suo autovalore Gn
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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Quindi le soluzioni F+ e G+ delle (346) avranno per espressione asintotica poichè si cercano soluzioni tendenti
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G. Verh. d. Phys. Ges. , 16, 10 (1914).
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Come è noto, un grammo-molecola è un numero di grammi uguale al peso molecolare. Perciò, conoscendo il numero di Avogadro N, si ottiene il peso in g
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Massa (per piccole velocità): mo= [numero eliminato] g.
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Accademia della crusca
