Fondamenti della meccanica atomica
Sviluppando il quadrato che figura in questa formula, ed utilizzando la (32) e la proprietà di ortogonalità, si trova l'importante formula di
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(31*) [formula 31* eliminata]
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Lo stesso sviluppo si può ottenere in una forma più comoda usando le autofunzioni (29), che si possono raccogliere nell'unica formula
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formula che si estende anche ai valori negativi di ω.
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formula che si identifica con la (53), purchè si ponga . Con queste sostituzioni la (54) ci fornisce allora per A la seguente espressione:
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(77') [formula 77'eliminata] .
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Questa formula, per un dato valore di t (p. es. t = O) si può considerare come lo sviluppo in integrale di Fourier di una assegnata funzione di x, y
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e diventa così identica alla formula che vale per i fotoni.
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In questa formula, rappresentano tre integrali in cui entrano le autofunzioni dei due stati stazionari, iniziale e finale, e precisamente
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Questa formula rappresenta (v. § 12) un treno di onde piane progressive di lunghezza d'onda
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ed allora la (152) si identifica con la formula già nota , mentre la (151) assume la forma seguente:
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L'indeterminazione nell'ascissa della particella in un dato istante è definita dalla formula (analoga alla (65))
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Perchè questa sia identicamente soddisfatta, devono annullarsi tutti i coefficienti, il che dà per le la formula ricorrente
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Passiamo ora ad occuparci delle autofunzioni. Quando è dato dalla (190), la formula ricorrente (188) diviene
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dell'ordine di 100 : quindi nell'applicare la formula (201) si può sostituire con e di fronte a questo termine si può trascurare l'unità: la formula si
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Ricordando che la A della (79) è data dalla (80), si vede che si ricava dalla iniziale con la formula
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e poichè , si conclude che le sole lunghezze d'onda che possono dar luogo ad onde stazionarie sono quelle esprimibili con la formula
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e cercando di soddisfare questa con la serie (234), si trova per le la formula ricorrente
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(con h costante), si arrivava alla formula
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Un'altra loro proprietà notevole è espressa dalla formula ricorrente che lega tre polinomi successivi:
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si trova per le la formula ricorrente,
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Cenno sui polinomi di Laguerre. — Il polinomio di Laguerre di grado K, che si indica con , è definito mediante la formula
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Un'altra proprietà notevole dei polinomi di Laguerre, che ci limitiamo ad enunciare, è quella espressa dalla formula ricorrente
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(305) [formula 305 eliminata]
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Talvolta può convenire sostituire la (329) con la formula (329')
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Riferendosi agli assi la lunghezza del vettore f può essere calcolata mediante la formula
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che, per la formula di Parseval (v. p. 106), è equivalente alla (3). Similmente, si dimostra facilmente che il prodotto scalare si può calcolare
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il che significa che per gli operatori e definiti dalle (14) vale, invece della proprietà commutativa, la seguente formula di permutazione:
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Difatti, il passaggio dalle f' alle f'' sarà espresso dalla formula, analoga alla (35),
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L'elemento sarà dato dalla formula, corrispondente alla (23),
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Similmente si troverà la formula (ottenibile dalla precedente con lo scambio di con e di f con g)
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Una proprietà della , di cui si fa spesso uso, è quella espressa dalla formula
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Questa formula si può trasformare, poichè dalla (114) si ha che : inoltre essendo e una costante, si ha
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che, introducendo le notazioni vettoriali anche per gli operatori, si riassumono nella formula
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[formula 136 eliminata]
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Si riconobbe in seguito che la formula di Balmer non è che un caso particolare di una formula più generale che rappresenta tutte le righe dello
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La semplicità della formula, il numero notevole di righe che essa rappresenta e l'estrema precisione con cui essa si adatta ai risultati sperimentali
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trasformare ancora questa formula esprimendo anche il secondo termine mediante le invece delle : con ciò la formula diverrà
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(1) La formula rigorosa conterrebbe anche dei termini dell'ordine di rispetto agli altri, rappresentanti l'azione del campo elettrico sul magnete in
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le quali significano che dette matrici devono essere hermitiane. La formula diviene allora
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si riassumono nella formula vettoriale
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Il potenziale vettore, da cui deriva il campo magnetico, si ottiene dalla densità di corrente j con la nota formula dell'elettromagnetismo
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e calcoliamone la derivata con la formula usata sopra: avremo
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e allora le (299) si raccolgono nell'unica formula
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(304) e (305) si possono compendiare nella formula:
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sostituendo questa nella (327), e tenendo presente la (303') la formula che definisce diviene:
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A tal uopo osserviamo che è definita dalla formula analoga alla (303), cioè da
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formula che si può trasformare, osservando che dalla (318) si ha (introducendo la matrice definita, come al solito, da :
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Sostituendo queste espressioni, e le analoghe per , e , nelle (349), si trova per le cs la formula ricorrente
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Allora la (15) e la (17) si compendiano nella formula
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Accademia della crusca
