Fondamenti della meccanica atomica
Si osservi che se f(x) è funzione pari, cioè se f(— x) = f(x), tale è anche C(ω), e se f(x) è dispari, anche C(ω) è dispari. Nel primo caso la (53
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per f dispari:
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per f pari:
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Con ciò lo sviluppo della f si scrive (v. (57)):
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Pauli, ZS. f. Phys., 80 (1933), p. 573 e segg.
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ZS. f. Phys., 39 (1926), p. 828.
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ZS. f. Phys., 38 (1926), p. 518.
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dove le sono altre f costanti arbitrarie.
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Il movimento del sistema ad f gradi di libertà dipende,come è noto, da costanti, definibili dalle condizioni iniziali: ora Sommerfeld impose una
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E poichè, come si è visto, una delle si identifica con l'energia E del sistema, si può riguardare questa come una funzione delle f costanti J, e
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Lettera usata:s p d f g h...
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si può definire il prodotto scalare di due vettori f, g:
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Questo spazio si chiama perciò spazio funzionale. Si può anche dire che la funzione f(x) è rappresentata da un punto nello spazio funzionale e
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il campo S. Si sarà così condotti a definire come modulo del vettore f rappresentante la funzione f (o, come anche sì dice, come norma della funzione
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Estendiamo ora allo spazio hilbertiano la formula (2): prodotto scalare di due vettori f, g, rappresentanti le funzioni f(x), g(x), o prodotto
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Alla definizione (3) del modulo di un vettore f o norma di una funzione f si può ora anche dare la forma seguente: essa è la radice quadrata di f x f.
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e si interpreta così: il coefficiente dello sviluppo della funzione f mediante le funzioni ortogonali , è la proiezione del vettore f sul versore
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Condizione di ortogonalità dei due vettori f, g (o delle funzioni f(x), g(x)) è che sia , cioè, in conseguenza della definizione (4), che sia
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Proiezione del vettore f sul vettore g è il numero
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b) I simboli log, sin, cos, ecc. sono altrettanti operatori, che mutano la funzione f,...) nella funzione log f), sin f, ecc.
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Un operatore generico viene indicato con una lettera: noi useremo di regola per questo scopo le lettere gotiche. Per esempio scriveremo F = per
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d) Il simbolo (con costante) è un operatore che muta ogni funzione integrabile f nella funzione
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L'operatore a secondo membro ha, un'interpretazione assai notevole: esso, muta f(x) in f(x ), poichè, per la formula di Taylor,
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l'estensione immediata del caso precedente porterebbe a definire come F () l'o. l.
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Inoltre si vede immediatamente che: se un operatore è permutabile con , lo è anche con qualunque F().
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Si vede di qui che le componenti del vettore sono le , le quali si ottengono dalle componenti fn di f mediante il sistema di (infinite) relazioni
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W. Bothe e H. Geiger ZS f. Phys. 32, 639 (1925)
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la quale, confrontata con la (35), mostra che si passa dalle f alle f" mediante la matrice nel modo stesso con cui la matrice fa passare dalle f alle
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Difatti, il passaggio dalle f' alle f'' sarà espresso dalla formula, analoga alla (35),
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(F simbolo di funzione analitica), si ha anche nel secondo sistema
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Similmente si troverà la formula (ottenibile dalla precedente con lo scambio di con e di f con g)
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È importante per le applicazioni il seguente teorema: se è un'autofunzione di , appartenente all'autovalore An, essa è anche un'autofunzione di (F
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Sia ora la funzione F definita dalla serie
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Poichè le formano un sistema completo, qualunque funzione f si può sviluppare in serie delle , e quindi per qualunque f varrà
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e, mediante questa matrice continua, si ottengono le componenti del vettore F da quelle di F con la formula, analoga alla (22),
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Data un'osservabile X, e data una funzione , l'osservabile G = f(X) è definita dal seguente insieme di operazioni: eseguire l'osservazione X e sul
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di più variabili F(x, y, z,...) si può definire (almeno sotto condizioni assai larghe) una osservabile F(X, Y, Z, ...), nel modo seguente.
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Data ora una funzione di più variabili F (x, y, z,...) sviluppabile in serie di potenze, si può sempre scrivere ciascun termine della serie in forma
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concludere che a un'osservabile definita come F(q) corrisponde l'operatore F(q), e a una F(p) corrisponde cioè l'operatore ottenuto dalla data funzione
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e non sono evidentemente permutabili, poichè per qualunque funzione f si ha
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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Quindi le soluzioni F+ e G+ delle (346) avranno per espressione asintotica poichè si cercano soluzioni tendenti
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(1) Zs. f. Phys., 53 (1929), 157.
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(1) Zs. f. Phys., 31, 765 (1925).
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(1) V. W. HEISENBERG, ZS. f. Phys., 3S, (1926) p. 411.
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(2) ZS. f. Phys., 49, (1928), p. 619.
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(1) ZS. f. Phys., 10, 185 (1922).
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ZS. f. Phys., 33, 879 (1925).
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ZS. f. Phys., 43, 172 (1927).
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Gli elettroni erano emessi (fig. 11) da un filamento di tungsteno incandescente F, e venivano accelerati dal campo creato tra F ed il diaframma D
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Accademia della crusca
