Fondamenti della meccanica atomica
e la proprietà di ortogonalità è
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Si osservi che se f(x) è funzione pari, cioè se f(— x) = f(x), tale è anche C(ω), e se f(x) è dispari, anche C(ω) è dispari. Nel primo caso la (53
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Ciò premesso, si può dimostrare che più è corto il gruppo d'onde, più larga è la riga spettrale che gli corrisponde, e precisamente che Δx e Δx sono
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e questa è la sola limitazione per e . Tutto ciò che si può ricavare da essa, riguardo a cos e cos separatamente, è che ciascuno di essi deve esser
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È evidente poi che rappresenta la probabilità che la particella abbia l'energia e l'impulso , e la probabilità dell'energia e dell'impulso .
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Si riconosce subito che la E non può essere negativa (e quindi che k deve essere reale) perchè altrimenti la u diventerebbe infinita per o per , il
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(cioè, che il prodotto delle indeterminazioni sia il minimo possibile). Come si è visto al § 13, ciò richiede che le funzioni e siano della forma (70
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Bisogna dunque cercare se la (183') ammette soluzioni finite e continue dovunque, e tendenti a 0 per tendente a : si troverà che ciò è possibile solo
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invece, la curva può avere due aspetti diversi secondo che la forza viva E supera o no . Nel primo caso è reale e quindi la curva è di forma
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Dal punto di vista della meccanica classica si devono distinguere tre casi. Se (p. es. livello E') una particella attraversa tutta la doppia barriera
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si vede subito che, affinchè sia per e per x, (qualunque siano y, z, t), deve essere , con intero; e similmente per e : quindi
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e ricavando dalla (259), si trova infine che, se E è negativo, esso deve avere uno degli autovalori
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ed è sempre finito per . Quindi qualunque integrale della (258) si manterrà finito per : perciò non si è costretti ad imporre alla A alcuna
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E poichè, come si è visto, una delle si identifica con l'energia E del sistema, si può riguardare questa come una funzione delle f costanti J, e
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e quindi, sostituendo le espressioni (325') e (329) di e si ricava (notando che, come si dirà più avanti, )
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(dove R e sono due funzioni di cui qui non interessa l'espressione: basta ritenere che sono reali e sono normalizzate secondo le formule (244) e (252
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Dati due o. l. e , chiamasi loro somma, e si indica con + , l'operatore (lineare) definito da (1) Qui, e nel seguito, f è una funzione qualunque cui
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si dice che è il reciproco o l'inverso di , e viceversa, e si scrive
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Esempio. – Prendiamo come l'o. l. è una costante), e definiamo l'o. l. ossia . Poichè la funzione è definita dalla serie
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È evidente che un o. l. è permutabile con qualunque propria potenza , e quindi anche con una qualunque F().
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Di qui ricaviamo facilmente un'altra proprietà degli operatori hermitiani: per due funzioni qualunque f e g, si ha, se è hermitiano (e solo se è tale):
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Si osservi che se è una matrice hermitiana, è tale anche la matrice che corrisponde ad essa in un qualsiasi altro sistema di riferimento: ciò si può
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e in particolare, se e sono permutabili, il loro prodotto è hermitiano.
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Ma se A è hermitiano, il primo membro è nullo e quindi segue (essendo , cioè l'ortogonalità.
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Corollario del teorema precedente è che se è hermitiano, sono tali tutte le sue potenze, e quindi qualunque sua funzione analitica (a coefficienti
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Nel caso degli autovalori continui è importante osservare che se è un'autofunzione di appartenente all'autovalore , e normalizzata (col criterio del
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Condizione necessaria e sufficiente perchè due o. l. e ammettano un sistema completo di autofunzioni (e quindi di assi principali) in comune, è che
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se f(x) è una funzione qualunque (purchè limitata entro l'intervallo che si considera e continua in , è
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Ricordando (v. nota al § 52, P. II) che l'espressione dell'energia in funzione delle q e delle p si è indicata genericamente con (q, p) e si è
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dove è proprio l'espressione (101): dunque misura l'ampiezza della componente monocromatica, di lunghezza d'onda delle onde diDe Broglie
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In coordinate cartesiane invece è e l'operatore corrispondente è, come è ben noto,
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e, se G è una componente cartesiana dell'impulso
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e poichè è un operatore che non coinvolge r, esso è sempre permutabile coi primi due termini di questa espressione: se poi la forza è centrale, U è
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e prendendo e dalla (163') e dalla (166), si trova
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Una seconda circostanza lasciata da parte nei capitoli precedenti è l'esistenza di un momento angolare intrinseco (spin) e di un momento magnetico
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e quindi il rapporto delle probabilità dei due risultati + 1 e —1 è:
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è un integrale primo, come nella meccanica ordinaria. Mostreremo ora che, invece, nella teoria di Dirac ciò non si verifica, e che in luogo di Mz, si
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e che , come risulta dalla (284), è permutabile con , con , e anche con V (perchè, come si è visto al § 30, in coordinate polari , e V è indipendente
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Sostituiamo ora per la sua espressione (286), e osserviamo che è permutabile con le p e con V, e che inoltre, come risulta immediatamente dalle (266
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Nel primo caso le equazioni danno (, mentre restano arbitrarie (salvo l'ortogonalità e la normalizzazione) e si possono prendere uguali a 1 e a 0
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perchè le funzioni sferiche si eliminino dalle equazioni, e queste si riducano a due sole (poichè la prima e la seconda diventano equivalenti, e così
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Le costanti e restano arbitrarie, e le prenderemo uguali rispettivamente a 1 e a , cosicchè sarà:
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ottenuta dalla precedente cambiando e in — e e in .
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poi prenderne una particolare autofunzione e porre in essa l'indice 1 alle variabili, e un'altra particolare autofunzione (che può eventualmente
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dove ogni integrale è sestuplo, e dS sta per , mentre le sommatorie sono doppie, e sostituiscono l'integrazione rispetto alle due variabili
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dove e ua sono funzioni delle coordinate, ma non di t, ed E, e Ea sono dati da (378) e (378'). Sostituendo in (382), e ponendo
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Supponiamo ora che, al tempo 0, si sia constatato che la particella 1 è nello stato e la 2 nello stato , vale a dire, che la è rappresentata
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È da notare che molto spesso le radiazioni ottenute per urto elettronico sono ultraviolette. In tal caso è possibile rivelarle, oltrechè
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i fasci diffratti al di là del cristallo si osservano quelli rimandati indietro) e si può farne la teoria sulle stesse basi che servono per
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Carica: e = [numero eliminato] u. e. s. = [numero eliminato] u. e. m.
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Accademia della crusca
