Fondamenti della meccanica atomica
I coefficienti c1 e c2 sono dati dalla (50) e da essi si trova
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monocromatici, le cui ampiezze complesse sono date dalla (59): questi treni d'onde si spostano poi, ciascuno con una diversa velocità V(k) e la loro
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e partiamo dalla ovvia osservazione, che la quantità
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dove sono definite dalla (82) e dalle altre due analoghe.
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quindi l'impulso posseduto dalla particella dopo la diffusione sarà dato da
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Da questa e dalla (101) si ha allora, conformemente a (94')
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Poichè v si suppone noto, la vx resta determinata con la stessa esattezza con cui si ha la dalla (106), la quale esattezza dipende dalla precisione
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Da Questa e dalla (107) si ricava
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D'altra parte, la velocità del punto data dalla meccanica classica è, per la (114),
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ovvero, ricavando le derivate dalla (136) e dalla (136')
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L'indeterminazione nell'ascissa della particella in un dato istante è definita dalla formula (analoga alla (65))
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A questi corrispondono le autofunzioni (normalizzate) date dalla (25), cioè
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Dalla (184) e dalla (190) risulta che la E deve avere uno dei valori
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Passiamo ora ad occuparci delle autofunzioni. Quando è dato dalla (190), la formula ricorrente (188) diviene
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Ricordando che la A della (79) è data dalla (80), si vede che si ricava dalla iniziale con la formula
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Un'altra loro proprietà notevole è espressa dalla formula ricorrente che lega tre polinomi successivi:
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In tal caso si ha dalla espressione di e dalla (218):
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mentre, come è noto dalla geometria,
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Una analoga quantizzazione per il momento angolare (totale) può ricavarsi dalla (324) e dalla (325). Si noti però prima che, identificando le due
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Similmente, dalla (319), si vede che il rapporto dei semiassi è
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dalla (356) e dalla (358), si ricava
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ovvero, ricavando dalla (357) e ponendo
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Dalla (23) risulta subito che la matrice somma, così definita, è effettivamente la matrice corrispondente all'operatore .
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Ciò posto, dalla (30) e dalla (32) si ricava per le nuove componenti l'espressione seguente (si badi alla (5')):
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Difatti, il passaggio dalle f' alle f'' sarà espresso dalla formula, analoga alla (35),
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L'elemento sarà dato dalla formula, corrispondente alla (23),
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Infatti, dalla (49) si ha, ponendo al posto di g (vettore arbitrario) ,
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Sia ora la funzione F definita dalla serie
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Se ora per v si sostituisce l'espressione ricavata dalla (7), si ha, con facili trasformazioni
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Una proprietà della , di cui si fa spesso uso, è quella espressa dalla formula
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funzione . Per esempio, la condizione di ortogonalità, e normalizzazione delle autofunzioni, espressa dalla (46) e dalla (46') del capitolo I, p. II
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Risulta senz'altro dalla definizione che un'osservabile X è compatibile con qualunque f(X).
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dove U è l'energia potenziale, che, dipendendo solo dalla posizione relativa, sarà funzione di
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Questa espressione si ottiene non dalla (105), ma dalla seguente (che algebricamente equivale a quella):
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Dalla (109) e dalla (110) si ricavano, per una G della forma , le relazioni di permutazione seguenti (che comprendono come casi particolari tutte
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Identificando G con una coordinata si ha, dalla (118')
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La maggior copia di elementi per la conoscenza degli atomi ci è fornita dalla spettroscopia, la quale, oltre che dal grandissimo numero di dati che
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dalla fig. 6, la quale suppone la dispersione proporzionale alla frequenza. Come è manifesto dalla figura, queste righe si riuniscono in tre gruppi
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e, ricavando le p dalla (158), e notando che
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e prendendo e dalla (163') e dalla (166), si trova
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Otteniamo dunque dalla (203)
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ossia, nello schema , dalla matrice
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elevando a quadrato: partiremo dunque, anzichè dalla (253), dalla relazione
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Ma dalle formule di permutazione e dalla (284) si ricava
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A tal uopo osserviamo che è definita dalla formula analoga alla (303), cioè da
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e poichè dalla (319) si ricava
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ottenuta dalla precedente cambiando e in — e e in .
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chiameremo «di De Broglie», hanno una lunghezza λ che dipende dalla velocità v degli elettroni stessi (o dalla tensione acceleratrice V) e che
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poichè l'angolo di incidenza nella superficie è, come si vede dalla figura, 2φ.
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Ricavando dalla (32) e sostituendolo nella (33) si ha
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Accademia della crusca
