Fondamenti della meccanica atomica
dove si è incorporato il fattore 2i nella costante arbitraria Cn. La condizione di normalizzazione ci dà poi
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Scelto così λ, le condizioni agli estremi sono entrambe verificate, e quindi c1 e c2 restano arbitrarie: la condizione di normalizzazione dà soltanto
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(designando con λ indifferentemente λ1 o λ2, che differiscono infinitamente poco): ciò suggerisce di porre come condizione di normalizzazione
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per due intervalli Δ1λ, Δ2λ che non si sovrappongono. La condizione di normalizzazione è
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Similmente si imporrà alle autofunzioni la condizione di normalizzazione:
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e poichè per la condizione di quantizzazione
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, e quindi deve risultare uguale ad 1: perciò la deve soddisfare la condizione
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si ha la condizione seguente, puramente geometrica, per determinare la traiettoria:
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L'espressione di N trovata nel § precedente, sostituita nella (108'), fornisce una meccanica ondulatoria che soddisfa, alla condizione di
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Questa chiamasi condizione di normalizzazione, ed è già stata esaminata nel cap. I per le autofunzioni delle equazioni differenziali: come si è visto
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Vedremo tra breve sotto quale condizione questo è possibile.
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e la funzione dovrà essere determinata in modo da soddisfare l'altra condizione iniziale, e cioè che sia
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L'equazione di Schrödinger sarà ancora la (148), ma con la condizione che fuori del segmento AB la si annulli (essendo per ipotesi nulla la
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La condizione di normalizzazione è
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La condizione che P sia finita in tutto l'intervallo considerato è poi certo soddisfatta se uno dei coefficienti, p. es., si annulla (senza che si
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Alla y va inoltre imposta la condizione che per la R si mantenga finita, quindi
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Il fattore si determina con la condizione di normalizzazione (252): si trova
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indicando con l'integrale esteso ad un periodo. La condizione di quantizzazione è dunque, in questo caso, esattamente la (303') anzichè la (303).
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e quindi la condizione di Sommerfeld J = nh dà per E i valori
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La condizione di Sommerfeld dà dunque
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d) Forma delle orbite.- Dobbiamo ora tener conto della rimanente condizione di Sommerfeld (323), dove n'(= 0, 1, 2,...) chiamasi quanto radiale.
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Quindi la (323) dà, tenuto conto anche della (329), la condizione seguente per
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Ora, : quindi la condizione è
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Condizione di ortogonalità dei due vettori f, g (o delle funzioni f(x), g(x)) è che sia , cioè, in conseguenza della definizione (4), che sia
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condizione è indipendente dall'ordine dei due vettori).
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e quindi la condizione di ortogonalità si può scrivere
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(1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si sottintenderà sempre nel seguito.
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dove f, g sono due funzioni qualunque (1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si
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e si ricerchi la condizione perchè sia hermitiano. Applicando la (46), si vede che deve essere, per qualunque f,
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che richiede, essendo f arbitraria, A' = B. Si trova dunque la condizione che abbiamo già espresso dicendo che l'equazione era autoaggiunta (v. § 3
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Sostituendo questa, insieme alla (48), nella condizione di hermiticità (46), si ricava
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Unica condizione richiesta alla funzione F(a) è di essere univocamente definita per tutti i valori An di a.
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Dimostriamo ora che la condizione è sufficiente. Supponiamo perciò che valga la (61) e chiamiamo una generica autofunzione di appartenente
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Condizione necessaria e sufficiente perchè due o. l. e ammettano un sistema completo di autofunzioni (e quindi di assi principali) in comune, è che
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cioè a : si ritrova così la condizione di ortogonalità e normalizzazione introdotta al § 10 p. II.
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dove il fattore , è stato determinato mediante la condizione di normalizzazione.
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(1) Nel caso unidimensionale, p. es., posto (con e reali) si verifica subito che questa condizione è soddisfatta dall'operatore
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e che la corrisponde all'autovalore 0. Naturalmente anche qualunque funzione di questa G soddisfa la condizione voluta. (v. E: FERMI, N. Cim., VII
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Dimostreremo ora un teorema della massima importanza e cioè: condizione necessaria, e sufficiente perchè due osservabili siano compatibili è che i
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Da questo teorema discende, in particolare, che la condizione di compatibilità di due osservazioni è simmetrica, come si è detto al § 16.
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Per avere tutti i termini dello sviluppo (171), manca ancora la conoscenza di : questa si determina imponendo a la condizione di normalizzazione, che
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Da ciascuno dei sistemi (185) si hanno poi, a meno di un fattore costante, le il detto fattore si determina imponendo la condizione
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La condizione di normalizzazione è evidentemente:
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Ora Bohr ammise che nella meccanica atomica esistesse una condizione supplementare, per cui è possibile il movimento non su tutti i cerchi ammessi
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dove è posto ; perciò la condizione che esso sia nullo equivale a
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il modulo della costante A si determinerà con la condizione di normalizzazione (v. § 10, p. II).
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e la condizione di normalizzazione dà .
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dove le sono infinitesime del 1° ordine: la (314) si traduce nella condizione di emisimmetria:
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condizione cui devono soddisfare questi coefficienti affinchè l'equazione ammetta, per le date condizioni agli estremi, una soluzione non nulla (e quindi
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Tale condizione può essere sempre soddisfatta, perchè, detta Y(x) una autofunzione che non la soddisfi, basta dividere questa per la costante non
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Accademia della crusca
