Fondamenti della meccanica atomica
(1) V. bibl. n. 25 o n.34. Più generalmente vale il seguente teorema: se la funzione f è tale che esista , la serie (31) è almeno in media
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Ammesso questo teorema (1) V. bibl. n. 25 o n.34. Più generalmente vale il seguente teorema: se la funzione f è tale che esista , la serie (31) è
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che non è altro che la relazione di completezza delle autofunzioni in questione.
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La funzione Δy/Δω tende a O, come si vede, per (il che si può interpretare dicendo che le infinite funzioni sinusoidali, che in essa sono sovrapposte
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per due intervallini che hanno in comune un tratto Δλ, o eventualmente che coincidono.
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Ciò premesso, si può dimostrare che più è corto il gruppo d'onde, più larga è la riga spettrale che gli corrisponde, e precisamente che Δx e Δx sono
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dove rappresenta la velocità lungo l'asse x prima della misura. Però va tenuto presente che la particella riceve un impulso nell'atto della
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Perchè ora la traiettoria del pacchetto d'onde tra A e B coincida con quella che la meccanica classica assegna al punto, bisogna che la (111) e la
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formula che, badando alla relazione tra p e k e alla (158), si identifica con la (63). Da ciò si vede che le due indeterminazioni e sono soggette
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(cioè, che il prodotto delle indeterminazioni sia il minimo possibile). Come si è visto al § 13, ciò richiede che le funzioni e siano della forma (70
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il che significa che tutte le particelle sono riflesse. Però la u è diversa da zero anche a destra di O, dove è data dalla (176), che si riduce a
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e rappresenta la probabilità che il sistema sia nello stato n-esimo, cioè che la sua energia sia (le sono, come si sa, soggette alla restrizione
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e cercheremo di determinare v in modo che l'equazione sia esattamente soddisfatta, e che inoltre la u si conservi finita anche all'infinito, per il
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Tale fenomeno dava luogo ad una grave difficoltà teorica. Si è potuto infatti determinare, con esperienze del tipo di quelle che condussero il
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discreti e parte continui) che rappresentano i livelli energetici del sistema: nel caso che siano discreti, si potranno caratterizzare con un indice n
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La formula (341) permette di calcolare la frequenza delle varie componenti di ciascuna riga: noi ci limiteremo ad osservare che le differenze di
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Si osservi inoltre che, per un risultato trovato al § 56 (quantizzazione spaziale) che si estende immediatamente anche ad atomi non idrogenoidi, un
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(si può dimostrare che l'integrale è sempre convergente, in conseguenza della convergenza degli integrali che definiscono e . Si osservi che il
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Ad ogni o. l. corrisponde così una matrice, che lo individua perfettamente, e che si indica generalmente con lo stesso simbolo dell'operatore: spesso
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che richiede, essendo f arbitraria, A' = B. Si trova dunque la condizione che abbiamo già espresso dicendo che l'equazione era autoaggiunta (v. § 3
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Si osservi che se è una matrice hermitiana, è tale anche la matrice che corrisponde ad essa in un qualsiasi altro sistema di riferimento: ciò si può
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che esprime che è hermitiano. Sottraendole invece, e badando alla (50'), si trova
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il che significa che
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Dimostriamo dapprima che la condizione è necessaria. Supponiamo perciò che esista un sistema completo di funzioni ortogonali ... che siano ad un
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il che prova che è anche un'autofunzione di (e precisamente appartenente all'autovalore ). Resta così provato che le costituiscono un sistema
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Si osservi che se l'operatore è hermitiano tale è anche la matrice, il che per una matrice diagonale significa che i suoi elementi sono reali. Dunque
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In questo cambiamento di assi, la matrice A(k, j) che rappresenta un operatore rispetto agli assi , si cambia nella matrice che rappresenta lo stesso
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Faremo uso generalmente della funzione , che presenta nel punto la stessa singolarità che la presenta in x = 0: essa ha la proprietà fondamentale che,
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che si suol giustificare dicendo che per tutti i valori di x per cui non è nullo il primo fattore, è nullo il secondo. Più esattamente diremo che la
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(1) "Distinte" vuol dire che supponiamo che ogni particella abbia una propria individualità, che cioè si possa distinguere dalle altre: se si
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Si tratta di verificare che, lasciando evolvere questa per un tempo dt, si ottiene una che è un'autofunzione dell'operatore corrispondente
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ed esprime che: condizione necessaria e sufficiente perchè una osservabile G (non contenente t) sia un integrale primo è che il suo operatore sia
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Di tutti gli spettri, il primo ad essere interpretato fu quello dell'idrogeno atomico, che si presenta effettivamente come il più semplice, in
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Ricordiamo dal § 12 che, in particolare, la matrice che nello schema K rappresenta l'osservabile K, cioè la stessa che serve a definire lo schema, è
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Si riconobbe in seguito che la formula di Balmer non è che un caso particolare di una formula più generale che rappresenta tutte le righe dello
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Supporremo però in ogni caso che non contenga esplicitamente t, il che si esprime dicendo che la perturbazione è «indipendente dal tempo»: il caso
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che si esprime dicendo che esse formano i coefficienti di una «sostituzione ortogonale».
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Scriviamo ora che la soddisfa l'equazione di Schrödinger (183), cioè che
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Supponiamo ora che la perturbazione duri soltanto per un certo intervallo di tempo, da 0 a , mentre per e sia : supponiamo inoltre che prima
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(Poichè in tale processo si comportano come se non dipendessero da x, y, z, si suol dire che un tale operatore «opera solo sulla variabile di spin
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Verifichiamo anzitutto che questa equazione, nella approssimazione non relativistica, cioè quando c si può considerare assai grande rispetto alle
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Per mostrare che la (271) contiene implicitamente l'esistenza dello spin e la sua proprietà di quantizzazione (il che risulta anche dal § 51, ma solo
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Si noti anzitutto che queste matrici sono hermitiane, e quindi le osservabili che rappresentano sono reali (1)La particolare scelta adottata per le
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(1) Ricordiamo che, in tutto questo capitolo, si indicano con lettere greche gli indici che assumono i valori 1, 2, 3, 4, e con lettere latine quelli
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il che mostra che le quattro quantità,
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Ciò significa non già che la che si ricava da questa sia uguale alla , ma che le quantità , (densità elettrica e densità di corrente nel secondo
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il che prova che le si trasformano come le componenti di un quadrivettore invariante, come volevasi dimostrare.
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che dà (scartando la soluzione col segno — che darebbe )
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(1) Infatti, si consideri l'operatore che rappresenta il quadrato dello spin totale, e che è:
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Ciò non significa che i termini dell'ortoelio siano tutti tripli, ma che essi sono tripli ad eccezione dei termini S che sono sempre semplici (si
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Accademia della crusca
