Fondamenti della meccanica atomica
purchè si convenga che n può assumere anche valori negativi: allora ponendo , la (31) dà (sviluppo di Fourier in forma esponenziale)
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tenendo conto del valore sopra riportato dell'integrale, si vede che la costante di normalizzazione αλ va allora presa in modo che sia
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formula che si identifica con la (53), purchè si ponga . Con queste sostituzioni la (54) ci fornisce allora per A la seguente espressione:
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La semilarghezza Δk della riga si definirà allora con la formula seguente (analoga a quella che definisce in meccanica il «raggio d'inerzia», o
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Si potrebbe allora pensare di raggiungere la determinazione completa della traiettoria con una esperienza-limite, cioè mediante una successione di
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Da questa e dalla (101) si ha allora, conformemente a (94')
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Si vede subito allora che l'espressione di W diviene
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con K costante arbitraria. La (118) diviene allora,
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(1) In certi casi le condizioni del problema impongono alla particella di restare entro un certo spazio S: allora evidentemente si può integrare
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Potremo porre nella (145) U = O, e allora, ponendo per brevità
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ed allora la (152) si identifica con la formula già nota , mentre la (151) assume la forma seguente:
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la (59), che ne è conseguenza, dà allora
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; se (p. es. livello E"), sono possibili tre tipi di movimento nettamente distinti e cioè: o la particella proviene da sinistra, e allora viene
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difatti l'equazione diviene allora (dividendola tutta per X Y Z)
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Per studiare poi la (228) conviene assumere come variabile cos , che indicheremo con x: allora l'equazione diviene (tenendo conto della (230)),
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e risulterà allora
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coordinate polari nel piano), allora si considera come periodo relativo a questa coordinata il tempo richiesto perchè essa aumenti di . Si dice allora
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in modo da semplificare il calcolo: p. es. per , cui corrisponde si trova allora
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(1) L'energia viene a dipendere da m quando l'atomo si trova in un campo magnetico di intensità sufficiente a perturbare il moto: si produce allora
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sola e riguardando come costanti : avremo allora
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Difatti consideriamo per un momento X come funzione della sola coordinata e teniamo costanti le altre coordinate: la X sarà allora una funzione
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Definiremo allora come F() l'o. l. ottenuto sostituendo materialmente, nella serie precedente, il simbolo col simbolo (con che ogni termine della
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Esempio. - Sia l'identità . Allora la (23) ci dà
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Si troverà allora, analogamente alla (35):
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Difatti la (96) si scrive allora, chiamando un autovalore generico,
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In generale ci si limita a considerare integrali primi che non contengono esplicitamente t. Allora la (122) diviene
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Avremo allora
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e similmente per : inoltre si ricordi la seconda delle (182) e si tenga conto della (202); si ottiene allora
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Di qui possiamo anzitutto ricavare le a, moltiplicando l'equazione per e integrando: si ottiene allora (poichè è ortogonale a , alle , alle e a tutte
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dove gli elementi della matrice sono quantità piccole del primo ordine, che si tratta di determinare. La (213) diviene allora, ponendovi
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tanto più lungo, a partire da t = 0, quanto più lieve è la perturbazione). Allora le differiscono dalle per termini del primo ordine, cosicchè nel
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Infatti la (246') si scinde allora nelle due
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le quali significano che dette matrici devono essere hermitiane. La formula diviene allora
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Le condizioni (266') si possono soddisfare anche con altre infinite quaterne di matrici hermitiane: si hanno allora altrettante forme diverse delle
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L'equazione di Dirac diviene allora
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: allora le quattro equazioni precedenti si possono riassumere nelle formule:
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sempre una soluzione della forma , con la u reale (v. pag. 173): si ottiene allora
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e allora le (299) si raccolgono nell'unica formula
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Le espressioni (262) e (264) divengono allora rispettivamente
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Sarà allora (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore)
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Si può allora verificare facilmente, utilizzando le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari , che per le derivate di
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e inoltre introduciamo la costante della struttura fina : le (340) allora si scrivono
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Conviene allora introdurre, in luogo di e , una sola costante , ponendo
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metodi del cap. IV. L'hamiltoniano del sistema si scriverà allora sotto la forma
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Allora e si possono esprimere mediante queste nuove combinazioni, e divengono:
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Se invece si caratterizza la radiazione mediante la lunghezza d'onda λ, allora la relazione (23') va sostituita con la seguente
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Si dice allora che y1, y2 sono stati assunti come integrali fondamentali: vi è naturalmente larga arbitrarietà nella loro scelta, potendosi ad essi
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Allora gli integrali fondamentali y1, y2 conterranno anch'essi il parametro λ, e quindi lo conterrà anche il primo membro della (6) o della (7) che
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autoaggiunta, è allora
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Allora la (15) e la (17) si compendiano nella formula
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Accademia della crusca
