Fondamenti della meccanica atomica
Bisogna invece considerare non una autofunzione, corrispondente ad un valore determinato di λ (ci riferiamo per ora solo alla y(1) od alla y(2)), ma
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una larghezza inversamente proporzionale alla lunghezza totale del gruppo d'onde (o alla durata dell'emissione).
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(64'). ed altre due formule analoghe: esso si sposta con una velocità uguale alla velocità di gruppo già definita nel caso unidimensionale
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Analogamente alla (61), si può introdurre un vettore di propagazione medio definito da:
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e da altre due formule analoghe, ed inoltre le quantità definite, analogamente alla (63), da
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L'equazione si dirà autoaggiunta se ha la forma seguente (analoga alla (12))
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(limitandoci alla valutazione degli ordini di grandezza). Si abbia un gruppo d'onde luminose di lunghezza complessiva 2l, come quello rappresentato dalla fig
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conformemente alle (94'). Similmente si potrebbe ragionare riguardo alla coordinata z ed al rispettivo impulso (disponendo altrimenti la camera
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ovvero, introducendo l'impulso p = mv e badando alla (117)
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e diventa così identica alla formula che vale per i fotoni.
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formula che, badando alla relazione tra p e k e alla (158), si identifica con la (63). Da ciò si vede che le due indeterminazioni e sono soggette
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L'indeterminazione nell'ascissa della particella in un dato istante è definita dalla formula (analoga alla (65))
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La (163) equivale alla seguente relazione tra e
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e rappresenta la probabilità che il sistema sia nello stato n-esimo, cioè che la sua energia sia (le sono, come si sa, soggette alla restrizione
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Per studiare il problema corrispondente a questo in meccanica ondulatoria, osserviamo che l'energia potenziale corrispondente alla forza -Kxè
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È stato constatato sperimentalmente che applicando alla superficie di un metallo, nel vuoto, un forte campo elettrico Xdiretto verso il metallo, si
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(con h costante), si arrivava alla formula
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Così, affinchè sia anche normalizzata (rispetto alla variabile x), basterà prendere per essa l'espressione
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Alla y va inoltre imposta la condizione che per la R si mantenga finita, quindi
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In questo caso l'equazione (258), per x tendente a , tende alla forma
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Occupiamoci anzitutto degli integrali rispetto a . Il primo di essi, sostituendovi le espressioni di e conformi alla (229') diviene
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dove A e , sono due costanti arbitrarie: il momento coniugato alla x è
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Il momento coniugato alla coordinata è quindi (v. nota al § 52)
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Si verifica subito, applicando la regola precedente alla matrice unità (25) e a un'altra matrice qualunque, che
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e si potrà scrivere, analogamente alla (8'),
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Si troverà allora, analogamente alla (35):
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Ciò posto, dalla (30) e dalla (32) si ricava per le nuove componenti l'espressione seguente (si badi alla (5')):
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Questa proprietà, equivalente alla (34), caratterizza le matrici che diconsi unitarie.
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Difatti, il passaggio dalle f' alle f'' sarà espresso dalla formula, analoga alla (35),
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L'elemento sarà dato dalla formula, corrispondente alla (23),
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Difatti, dette le componenti di g, si ha, analogamente alla (48),
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Sostituendo questa, insieme alla (48), nella condizione di hermiticità (46), si ricava
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Sommando le ultime due, e badando alla definizione (50) si ha
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che esprime che è hermitiano. Sottraendole invece, e badando alla (50'), si trova
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Applicando alla prima l'o. l. , alla seconda , si ottiene rispettivamente
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L'elemento generico della matrice sarà, conformemente alla (23),
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e applicando gli operatori ottenuti alla .
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Essa si può considerare ottenuta dalla equazione classica della conservazione dell'energia operando, oltre alla sostituzione S anche la sostituzione
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ovvero, indicando con l' operatore di LAPLACE relativo alla particella k-esima,
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L'espressione dell'energia in funzione di x e di p = mx (hamiltoniana) è, analogamente alla meccanica classica,
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Applicando poi alla matrice le regole di permutazione (151) e (152) si trova
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dove si è introdotta la notazione, analoga alla (172),
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e cambiando l'indice di sommatoria l in j e badando alla (188):
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dove le k sono costanti, e, per l'hermiticità, deve essere . Siffatti operatori, applicati alla (238), sostituiscono le funzioni con due loro
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A tal uopo osserviamo che è definita dalla formula analoga alla (303), cioè da
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poichè con questa sostituzione essa si riduce alla (300) come si verifica immediatamente. A questa corrisponde, a norma della (303),
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Si osservi che per r tendente all'infinito queste equazioni tendono alla forma
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con costanti. Poichè alla corrisponde in prima approssimazione l'autovalore e a l'autovalore Ea, esse potranno scriversi sotto la forma:
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dove d è la distanza tra i piani reticolari, misurata perpendicolarmente alla superficie, e .
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Non vi è dunque alcuna ragione perchè debba esistere un modello geometrico o meccanico accessibile alla nostra attuale intuizione e capace di
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Accademia della crusca
