Fondamenti della meccanica atomica
Le equazioni che interessano la meccanica ondulatoria sono, nella maggior parte dei casi, equazioni a derivate parziali, lineari ed omogenee: a
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identificarsi con la meccanica ordinaria entro i limiti analoghi a quelli dell'ottica geometrica, e ciò qualunque siano le costanti a e b. Ma la condizione II
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In particolare, se si susseguono, in un ordine qualunque, due emissioni β ed una a, il peso atomico deve diminuire di 4, ma la carica nucleare non
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Applichiamo l'equazione unidimensionale di Schrödinger al caso di una particella non soggetta a forze, e libera di muoversi da a .
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L'integrale si riduce facilmente a integrali definiti noti, e risulta uguale a
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il che significa che tutte le particelle sono riflesse. Però la u è diversa da zero anche a destra di O, dove è data dalla (176), che si riduce a
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Analogamente a quanto abbiamo fatto nel caso unidimensionale (§ 38), possiamo ora considerare brevemente il caso di una particella vincolata a
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Tali funzioni sono particolari funzioni sferiche (di superficie) di ordine l. Di queste, quella corrispondente a si riduce a
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e che per la R tenda a zero non meno rapidamente di e quindi la y tenda ad un limite finito od a zero.
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I polinomi generalizzati corrispondenti ad un dato indice superiore j ed a diversi K, se moltiplicati per danno luogo a funzioni ortogonali
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a poco proporzionale alla densità di probabilità di trovare ivi l'elettrone. Si può dire dunque che l'atomo non ha un contorno definito ma, a rigore
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Si osservi anzitutto che per , U tende a e quindi p a : ne segue che l'esponente del primo termine tende a e perciò, affinchè la u per tenda a zero
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r da 1 ad N, gli infiniti valori che può assumere una variabile reale x in un intervallo (a, b): potremo dire che consideriamo, invece di N assi, una
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Per estendere al caso dello spazio a infinite dimensioni la (1), la (2) e le formule analoghe, si dovranno evidentemente sostituire le sommatorie da
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A. H. Compton e A. W. Simon, Phys. Rev. 20, 289 (1925).
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Ma un'esperienza ancora più significativa a conferma della precedente teoria dell'effetto Compton fu eseguita da COMPTON e SIMON nel 1925 A. H
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Le matrici così introdotte non si considerano come rappresentanti di operatori, poichè non servono a passare da un vettore a un altro, ma invece
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e moltiplicando scalarmente la prima per , a destra, la seconda per a sinistra e sottraendo membro a membro, si ha
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Questo problema, nel caso in cui è l'operatore della (47) (con A' = B) consiste nella ricerca delle soluzioni a quadrato sommabile dell'equazione
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Se poi An è un autovalore multiplo, a cui corrispondono le p autofunzioni indipendenti , un'autofunzione generica appartenente a questo autovalore ha
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) La dimostrazione di questo si fa per un o. l. generico (purchè hermitiano) come fu fatta al § 5 p. II per l'o. l. (47). Se e appartengono a due
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Unica condizione richiesta alla funzione F(a) è di essere univocamente definita per tutti i valori An di a.
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). Sia difatti F(a) il simbolo di una funzione della variabile a (anche non sviluppabile in serie), e sia un o. l. con gli autovalori e le autofunzioni
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L'integrale rispetto a è uguale a 1 se è interno all'intervallino , altrimenti è nullo: perciò, detto il tratto comune (eventualmente nullo) ai due
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Supponiamo che la misura di una osservabile A abbia dato un certo risultato A', e misuriamo, immediatamente dopo A, un'altra osservabile B ottenendo
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diremo cioè che un'osservabile F è uguale a se essa è uguale (nel senso specificato sopra) a :
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Resta da vedere come si determina l'operatore corrispondente a una data osservabile G. Procediamo a tal uopo per via di generalizzazioni successive.
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c) Caso di un'osservabile definita come funzione delle coordinate o dei momenti. Sia A un'osservabile a cui si sappia che corrisponde un certo
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Supponiamo ora invece che sia un operatore degenere (o incompleto). Allora l'osservazione di A porta il vettore di stato nella direzione dell'asse Ar
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Nell'ultimo termine si può sostituire con , (a meno di termini in ): con ciò l'equazione viene a coincidere con la (119') ed è quindi verificata.
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e quindi una delle radici tende a , una a ecc.: con questo criterio si fa il coordinamento.
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Nella (189), la rappresenta il termine principale: come si vede, l'autofunzione imperturbata si approssima (a meno di termini del primo ordine) non a
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Di qui possiamo anzitutto ricavare le a, moltiplicando l'equazione per e integrando: si ottiene allora (poichè è ortogonale a , alle , alle e a tutte
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delle matrici, che, come sappiamo, conduce a risultati equivalenti a quelli della meccanica ondulatoria. Lo mostreremo ora a titolo d'esempio, limitandoci
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Talvolta conviene (analogamente a quanto si è fatto al § 6 bis) considerare la coppia come una matrice a una sola colonna e a due righe, che si
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dove R è la costante di Rydberg ed a un'altra costante: tenendo fissa a e dando ad n tutti i valori interi da un certo valore in poi, si ottiene una
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(1) Si noti che, per conservare la validità della regola di moltiplicazione, la matrice va sempre scritta a destra di , e la a sinistra.
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equivale, quando si assumano per le a le espressioni (267), alle quattro equazioni seguenti (equazioni diDirac per l'elettrone non soggetto a forze):
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Nei casi ordinari (corrispondenti cioè nel modello classico a particelle dotate di velocità piccole rispetto a c, sì da potersi usare la meccanica
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Nel primo caso le equazioni danno (, mentre restano arbitrarie (salvo l'ortogonalità e la normalizzazione) e si possono prendere uguali a 1 e a 0
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Moltiplicando a destra e a sinistra ambo i membri per , e ricordando le (301) si trova:
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poichè con questa sostituzione essa si riduce alla (300) come si verifica immediatamente. A questa corrisponde, a norma della (303),
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Le costanti e restano arbitrarie, e le prenderemo uguali rispettivamente a 1 e a , cosicchè sarà:
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Sostituendo per A e B le espressioni (345) e risolvendo rispetto a W si trova
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a zero per , si dovrà scartare il segno +: si è così condotti a ricercare soluzioni della forma
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Le funzioni (347) risultano certamente nulle all'infinito se le serie si riducono a polinomi: detto n' il grado di questi, dovrà essere a tal uopo
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(1) Proc. Roy. Soc., A. 126', (1931) 360; id. ,A. 133, (1931) 60. V. anche bibl. n. 6.
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dove sono gli operatori corrispondenti alle componenti dello spin del primo elettrone (formati a norma del § 45) e sono quelli del secondo
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Applicando al momento angolare dell'elettrone una condizione analoga a quelle di Sommerfeld, si è condotti ad ammettere che, quando l'elettrone si
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Si dice che un'equazione differenziale del tipo (1) è in forma autoaggiunta se fra i coefficienti A(x) e B(x) passa la relazione B = A', cosicchè i
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Accademia della crusca
