consueti parametri della spazialità euclidea. E, ancora l’ambiente - questo forse il meno raggiunto, per un’eccessiva complessità delle strutture lignee
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elabora ipotesi di vita. L’arte non è che uno sputo geometrico sparato verso il paradiso dopo la crisi della geometria euclidea. 1981
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l'Aritmetica e la Geometria euclidea sono esenti da contraddizioni; inoltre la possibilità logica dell'una si riduce a quella dell'altra mediante
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Questo appunto fu dato dalla costruzione della Geometria non-euclidea, la quale dimostrò che, senza contraddire i fatti su cui si basano le
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§ 9. Cenni storici intorno alla costituzione della Geometria non-euclidea.
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Giova ricordare a questo punto che cosa richieda quel postulato, e quale sia il contenuto delle premesse cui si appoggia la Geometria euclidea.
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difetto nella costruzione logica della Geometria euclidea.
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Esistono varii modi di enunciare ed ordinare le premesse occorrenti alla Geometria euclidea ( 1 Cfr. nostro articolo sui Principii citato a pag. 117
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alla costituzione della Geometria non euclidea (1 Per la storia di essa, ed anche per uno sviluppo succinto delle teorie che la costituiscono, vedasi
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Questi particolari non hanno oggi che un interesse storico. La possibilità logica della Geometria non euclidea, e quindi l'indimostrabilità (nel
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«Geometria non euclidea».
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Vi accenneremo in parte nel seguito. Seguiamo ora i fondatori della Geometria non euclidea nelle concezioni filosofiche suggerite dalla loro scoperta.
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I fondatori della Geometria non-euclidea, accordando ai loro sviluppi astratti il valore di un ipotesi reale, furono certamente arditi; ma, come
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Nell'ipotesi euclidea si ha
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a) vale fisicamente la Geometria euclidea, per rispetto a misure precise quanto si vuole;
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euclidea, a meno degli errori d'osservazione. Ne risulta che k supera un certo limite rispetto alle dimensioni terrestri.
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La costante prende il nome di curvatura dello spazio (per certe analogie colla teoria delle superficie); essa si riduce = O nell'ipotesi euclidea
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ambiente, senza infirmare addirittura il fondamento comune delle Geometrie euclidea e non euclidea; e, quando si supponesse in concreto un'azione
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euclidea, formulata più tardi da Riemann.
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rappresentazione euclidea, dove la superficie limite impropria si riduce ad un piano.
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Il primo indirizzo muove dal tentativo di una sistemazione logica dell'organismo euclideo, e fa capo alla fondazione della Geometria non-euclidea,
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della rappresentazione euclidea, a cui pure si attengono i ciechi-nati, deve essere loro suggerita indirettamente da altre esperienze più complesse
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E trovano esse, d'altra parte, un appoggio nella storia della Geometria non euclidea?
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loro complesso ad una rappresentazione euclidea dello spazio E così avviene di fatto; noi stessi abbiamo potuto assicurarcene.
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Tuttavia si può pensare che i ciechi-nati non debbano provare la repugnanza ordinaria verso l'ipotesi non euclidea. Ci sarebbe piaciuto assai di
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La Statica ordinaria si fonda su di esso; ma una critica approfondita permette di riconoscere quale sarebbe una Statica non-euclidea: due forze
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che fa parte di un sistema rigido (1 Per i rapporti della questione col postulato d'Euclide, cfr. R. BONOLA: «La Geometria non-euclidea», Bologna
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La riga e il compasso sono i soli istrumenti che la Geometria euclidea adoperò nelle sue costruzioni. E sebbene non sia fuor di luogo supporre, che
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La cosa sorprendente è che intorno al 1830, quando Riemann, padre della geometria non euclidea, era ancora un bambino e mancava quasi un secolo alla
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essersi occupato di elettromagnetismo, partendo da Gauss e dalla geometria non euclidea di Riemann, incominciò a sviluppare quello che diventerà il
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Ovviamente Dante non fu il profeta né della geometria non euclidea di Riemann pubblicata nel 1854, né della relatività generale di Einstein. Il suo
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La possibilità di suddividere lo spazio nel modo indicato presuppone la validità della Geometria euclidea, la sola generalmente conosciuta, basata
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Geometria euclidea.— Nessun dubbio su la possibilità di ammettere come buono il metodo descritto: anzi, per anco può pensarsi che esso sia l’unico
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struttura euclidea.
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essere uguale a quattro angoli retti. Questa proposizione può essere facilmente dimostrata con la Geometria euclidea; cioè la sua giustezza può
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In altre parole, un mondo come quello imaginato avrebbe una Geometria diversa da quella a noi consueta, l'euclidea, avrebbe una Geometria cosi detta
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(2) Una trattazione, semplice, ma interessante, è quella di Tiberio Fenolli: Geometria non-euclidea, ed. Sonzogno.
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La concezione di un mondo con una Geometria, non-euclidea. — Sinora abbiamo considerato il mondo del Poincaré dal nostro abituale punto di vista
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, confronto che solo ci permetterebbe una distinzione tra la forma euclidea e quella non-euclidea.
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Per ciò la Geometria euclidea non può essere sostituita da alcun’altra, se non per speciali ragioni, assolutamente imperative.
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Geometria euclidea.
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volessimo rappresentarci lo stesso divenire, riferendolo ad uno spazio con struttura non-euclidea, non ci troveremmo, certo, di fronte a contraddizioni
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osservazioni, esiliate dalla struttura non-euclidea, avrebbero un diverso significato. La figura dei corpi dovrebbe dipendere dalla loro posizione e mutare
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dello spazio «in sé», che tutte le Geometrie non-euclidee hanno gli stessi diritti di esistenza, che ha la Geometria euclidea, se bene, per motivi di
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tetra-dimensionale possiede una struttura euclidea.
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Siccome la struttura euclidea può considerarsi come un caso particolare di struttura non-euclidea, il principio di Relatività generale è ricondotto
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di un campo di gravitazione, il quale appunto determina la struttura non-euclidea.
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struttura euclidea e la espressione delle leggi naturali non varia se si imprime ad un dato SISTEMA del mondo una rotazione.
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Da ciò si vede come la Geometria euclidea non possa valere per la superficie della sfera e come sia necessario, per i matematici bi-dimensionali
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Per ciò se incontriamo una superficie nella quale non siano applicabili, in tutto od in parte, i principi della Geometria euclidea, possiamo dedurre
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Accademia della crusca
