Consideriamo la successione delle infinite autofunzioni normalizzate e ortogonali tra loro, y1, y2..., corrispondenti agli autovalori dell'equazione
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, naturalmente, un insieme continuo di autofunzioni che converrà designare con (dove l'indice λ varia con continuità, cosicchè, in sostanza, y è funzione di due
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continuo di autovalori; le autofunzioni corrispondenti a questi autovalori in generale non tendono a zero all'infinito, ma tendono a zero i loro
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Possiamo ora estendere al caso di un intervallo infinito lo sviluppo di una funzione arbitraria in serie di autofunzioni: si avrà però in
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Questa chiamasi condizione di normalizzazione, ed è già stata esaminata nel cap. I per le autofunzioni delle equazioni differenziali: come si è visto
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Tale considerazione torna assai utile per discutere qualitativamente l'andamento delle autofunzioni corrispondenti ad una assegnata curva del
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Gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione si studiano con un metodo analogo a quello seguito nel § 39 per l'oscillatore: punti singolari
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Le sue autofunzioni si possono ottenere mediante la formula ricorrente (236), ma si può anche osservare che se si deriva l'ultima equazione rispetto
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(« quanto totale»), oltre che con l'indice l che già figura nella (250), cosicchè scriveremo e per le autofunzioni corrispondenti . Per quanto concerne
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determiniate dalle quantità definite dalle (144), cioè ottenute con integrazioni operate sul prodotto delle autofunzioni corrispondenti ai due stati in
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), p. 24. e perfezionato da KRAMERS ZS. f. Phys., 39 (1926), p. 828. e da vari altri, per trovare delle espressioni approssimate delle autofunzioni e
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ciò è fedelmente rispecchiato nello schema della meccanica ondulatoria: difatti, sovrapponendo un certo numero di autofunzioni corrispondenti a diversi
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spazio funzionale. Chiameremo poi funzioni normalizzate (l) Si noti che questa definizione coincide con quella già data a 1 § 4 p. II per le autofunzioni
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versori (e quindi, dipendente dall'equazione differenziale di cui le sono le autofunzioni). Ogni funzione f(x) a quadrato sommabile resta individuata
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cui corrispondono le p autofunzioni indipendenti , un'autofunzione generica appartenente a questo autovalore ha la forma (55) con i coefficienti c
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). Sia difatti F(a) il simbolo di una funzione della variabile a (anche non sviluppabile in serie), e sia un o. l. con gli autovalori e le autofunzioni
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Si vede da ciò, che il problema di ridurre una matrice a forma diagonale (ossia, di trovare gli autovalori e le autofunzioni di un o. l. è la
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Nei §§ precedenti abbiamo sempre supposto che le autofunzioni che definiscono gli assi coordinati nello spazio hilbertiano formassero una successione
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una combinazione lineare di autofunzioni (v. § 29 p. II) l'energia non ha nessun valore numerico: un'osservazione diretta a misurarla può dare per
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all'autovalore di corrispondono p autovalori di i quali vengono a coincidere con quando tende a 0, e ad essi corrispondono altrettante autofunzioni e
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i numeri reali x', e per autofunzioni : la proiezione del vettore di stato su questo asse principale (calcolata nello spazio delle funzioni di x) è
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operatore , con autovalori Ar e autofunzioni . Sia poi G un'altra osservabile definita come funzione di A, cioè G = F(A): i possibili risultati di una
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prendendo per una combinazione lineare di autofunzioni , sono rappresentati da un vettore che non giace su nessuno degli assi principali di : e può esistere
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», con che vogliamo intendere quanto segue. Si sviluppi in serie delle autofunzioni di : in questo sviluppo entrerà, per ogni autovalore Gr, una
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antecedente, ciò significa che il vettore , qualunque esso sia, deve potersi sviluppare in autofunzioni comuni ad e , ossia che queste formano un sistema
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dipenderà esplicitamente dal tempo (si dirà allora che l'osservabile G dipende esplicitamente da t). In tal caso gli autovalori e le autofunzioni di G
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elettroni dell'atomo come una forza perturbatrice, e, supposto di aver saputo risolvere il problema (cioè determinare autofunzioni e autovalori) per
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richiede un procedimento alquanto diverso (v. p. es. bibl. n. 14, p. 157). ) e le rispettive autofunzioni . Fissiamo l'attenzione su uno determinato
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Ei e quelli perturbati, e le autofunzioni ad essi corrispondenti con e rispettivamente . È opportuno poi introdurre il livello energetico medio del
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anzitutto che e , per il significato dato loro più sopra, non sono altro che le autofunzioni dell'operatore , corrispondenti rispettivamente agli
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gruppi di quattro numeri. In corrispondenza a ciò, ciascuno di essi ha solo 4 autovalori e 4 autofunzioni (anzi, i 4 autovalori si riducono a 2 autovalori
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Infatti, consideriamo, p. es., la prima delle autofunzioni (361) e scambiamo in essa le con le : otterremo una nuova autofunzione (2, 1) appartenente
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antisimmetrica: una che non fosse tale (come si può ottenere combinando linearmente delle autofunzioni simmetriche con delle antisimmetriche), sebbene
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unica possibile fra tutte le anzidette autofunzioni. Ciò posto, se vi fossero nel sistema due o più elettroni con gli stessi numeri quantici, vi
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come autofunzione il prodotto delle autofunzioni corrispondenti ai singoli elettroni che lo compongono (v. § 20), cioè . Ma, essendo l'equazione
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di quattro coordinate): queste autofunzioni soddisfano le due equazioni
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, e che il suo stato, quando la prima particella è nello stato e la seconda nello stato , è espresso dal prodotto delle due rispettive autofunzioni
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livello semplice (402'): per , manca il livello triplo. Come si vede dalle (401), le autofunzioni del tripletto si ottengono moltiplicando una
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, vi è un tripletto di autofunzioni della forma e una autofunzione singola della forma : vale a dire, i livelli tripli corrisponderebbero in questa
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corrispondono una, o al più due, autofunzioni linearmente indipendenti (mai più di due, poichè qualsiasi altro integrale si può, come è noto, esprimere come
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Ad un dato autovalore possono corrispondere, come si è detto, una o due autofunzioni linearmente indipendenti. Se ve ne corrisponde una sola, ciò
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(v. atomo). Le autofunzioni sono in questo caso caratterizzate dalla proprietà di essere antisimmetriche (e cioè di cambiare di segno e non di valore
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elio, l'atomo d'idrogeno o di elio, i quanti di luce, ecc.: sono caratterizzati matematicamente dalla proprietà delle loro autofunzioni di essere
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Accademia della crusca
