Ma nello stesso tempo, ed facile intenderlo, il circolo di illuminazione della Terra, rappresentato nel disegno da ab', è sempre perpendicolare al piano dell'eclittica, rappresentato in proiezione da SO. Ne segue che l'asse di rotazione PP' non può mai fare in nessun caso col piano del circolo d'illuminazione un angolo maggiore di quello che l’equatore fa coll'eclittica, mentre può benissimo in certi casi, che avremo occasione di esaminare un po' più innanzi, trovarsi in quel piano stesso.
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Nella figura l’orbita della Luna giace per opportunità di disegno nel piano dell'orbita AB della Terra, ma in realtà essa è un po' inclinata su questo piano, e di questa inclinazione vedremo le conseguenze, quando avremo a parlare delle eclissi. Le saette segnano la direzione dei movimenti tanto della Luna quanto della Terra.
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Ma intorno al cono d'ombra esiste una zona di mezza luce, che in fisica si chiama penombra; in questa zona (ab), la quale circonda a guisa d'anello
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Gli individui AB, che sono privi di agglutinine
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Questa proprietà del sangue, che è caratteristica ed immutabile per ogni individuo, è ereditaria, e pare che sia determinata da due coppie allelomorfe Aa, e Bb, di cui i dominanti producono gli agglutinogeni A e B, i recessivi le agglutinine: perciò gli individui con formula genetica in cui esistono due dominanti (AABB, AABb, AaBB, AaBb) appartengono al gruppo AB; quelli in cui esiste un sol dominante (AAbb, Aabb, e aaBB, aabB) ai gruppi A e B rispettivamente; quelli recessivi (aabb) al gruppo 0 Secondo il matematico Bernstein (1925) si tratterebbe invece di tre allelomorfi multipli, che egli indica con A, B, R, combinati fra di loro a due a due. Quest’ipotesi darebbe ragione della frequenza dei varî gruppi molto meglio di quella delle due coppie di allelomorfi (ipotesi di V. Dungern e Hirszfeld). .
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Esaminiamo ora la validità del ragionamento seguente: se in A è una sorgente luminosa che compie un atto elementare di emissione, e in B è una particella che compie un atto elementare di assorbimento, sembra di poter affermare che il quanto emesso da A ha percorso il segmento di retta AB fino a giungere in B dove è stato assorbito. Ma se cerchiamo un mezzo qualunque per controllare questa affermazione, ci accorgiamo subito della sua inconsistenza.
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. § 39) e, per un valore qualunque di E, consideriamo una curva u(tratteggiata) rappresentante una soluzione che verso sinistra tende asintoticamente all'asse x: essa si scosterà dall'asse x, volgendogli la convessità, fino al punto A, poi inizierà una serie di oscillazioni entro il tratto AB, per riprendere, a destra di B, l'andamento non oscillatorio che la porta in generale a scostarsi indefinitamente dall'asse x. Solo se E ha uno dei valori En (autovalori), avviene che la curva torni ad adagiarsi sull'asse x anche verso destra, ed essa rappresenta allora un'autofunzione (curva piena).
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Con ciò il k' della (177) tende a e quindi l'esponenziale della fig. 26 discende a zero immediatamente oltre il gradino: si può quindi fissare l'attenzione solo all'andamento della nel tratto AB, imponendo la condizione che essa debba annullarsi agli estremi.
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Supporremo che l'energia potenziale U abbia un andamento del tipo della fig. 42 , cosicchè vi sia una sola regione AB (regione II da a )in cui p è reale, mentre nelle altre due regioni (I e III) è immaginaria a coefficiente positivo: classicamente, la particella eseguirebbe delle oscillazioni tra Ae B.
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E i molti casi di parassitismo incipiente o più o meno completo, che si trovano in natura, e quelli che si sono determinati sotto i nostri occhi in seguito al trasporto da parte dell’uomo di specie animali o vegetali in aree diverse da quelle di origine, dimostrano in modo molto chiaro che le relazioni di parassitismo non sono state fissate irrevocabilmente ab initio. Si sono venute determinando man
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Narrat enim Cynocephalum quemdam in furorem incidere aspectu feminarum aliquarum, sed nequaquam accendi tanto furore ab omnibus. Semper eligebat juniores, et dignoscebat in turba, et advocabat voce gestuque.
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Tutti sanno che in molte donne Ottentote la parte posteriore del corpo sporge in modo singolare; esse sono steatopigie; e sir Andrea Smith è certo che questa particolarità è molto ammirata dagli uominiIdem illustrissimus viator dixit mihi, praecinctorium vel tabulam foeminae, quod nobis teterrimum est, quondam permagno aestimari ab hominibus in hac gente. Nunc res mutata est, et censent talem conformationem minime optandam esse.. Egli vide una volta una donna la quale era tenuta in conto di bellissima, che aveva la parte posteriore talmente sviluppata, che quando era seduta per terra non poteva alzarsi, e doveva trascinarsi finchè trovasse sul terreno qualche rialzo. Alcune donne nelle varie tribù nere sono caratterizzate nello stesso modo; e secondo Burton, gli uomini Somal «scelgono, da quanto dicesi, le loro mogli mettendole in fila, e prendendo quella che sporge di più a tergo. Non v’ha nulla che dispiaccia più ad un nero quanto la forma opposta»The Anthropological Review, novembre 1864, p. 237. Per altri ragguagli vedi Waitz, Introduct. to Anthropology, trad. ingl., 1863, vol. I, p. 105..
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Consiste questo in un micrometro ordinario, nel quale sono tesi due fili ad angolo retto AB, CD fig. 46; tutto il sistema è rotabile Fig. 46. attorno al tubo del cannocchiale, e mediante un indice che percorre un circolo graduato può leggersi l’arco di rotazione, cui si è girato le strumento. Se si ha da determinare la posizione di una stella S rapporto ad un altra O, si comincierà dal determinare la direzione del parallelo celeste mettendo il filo A B in modo che esso sia percorso esattamente da una stella entrando ed uscendo dal campo, quindi letto il circolo questa posizione si conterà come 90° in ascensione retta seguente: con ciò l’altro filo CD sarà nel circolo orario e segnerà zero al punto Nord. Girato allora tutto il sistema si porterà il filo AB sulle stelle O ed S simultaneamente: l’angolo percorso COS sarà l’angolo di posizione. In questa pratica si considera il centro di rotazione posto nello stella principale. Bisogna avvertire che il cannocchiale rovescia; onde la compagna è al Sud apparente, quando realmente sta al Nord.
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Consiste questo in un micrometro ordinario, nel quale sono tesi due fili ad angolo retto AB, CD fig. 46; tutto il sistema è rotabile Fig. 46. attorno al tubo del cannocchiale, e mediante un indice che percorre un circolo graduato può leggersi l’arco di rotazione, cui si è girato le strumento. Se si ha da determinare la posizione di una stella S rapporto ad un altra O, si comincierà dal determinare la direzione del parallelo celeste mettendo il filo A B in modo che esso sia percorso esattamente da una stella entrando ed uscendo dal campo, quindi letto il circolo questa posizione si conterà come 90° in ascensione retta seguente: con ciò l’altro filo CD sarà nel circolo orario e segnerà zero al punto Nord. Girato allora tutto il sistema si porterà il filo AB sulle stelle O ed S simultaneamente: l’angolo percorso COS sarà l’angolo di posizione. In questa pratica si considera il centro di rotazione posto nello stella principale. Bisogna avvertire che il cannocchiale rovescia; onde la compagna è al Sud apparente, quando realmente sta al Nord. . Se eravi una parallasse annuale qualunque, essa dovea manifestarsi o nella variazione della distanza o nella variazione dell’angolo. Ma dopo molte ed accurate misure fatte in stagioni differenti, non potè scorgere nulla di sicuro, onde per allora abbandonò il soggetto. Avendo nel frattempo meglio perfezionato i suoi strumenti, tornò alla carica colla speranza di avere risultati più felici. Ma qual non fu la sua sorpresa in vedere che alcune stelle le quali prima gli erano apparse doppie ora erano divenute semplici, e che altre aveano notabilmente variato di posizione e di distanza!
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Allora siccome la stella principale S deve stare nel fuoco della ellisse vera, tirando la retta CS e prolungandola fino al perimetro, la retta AB sarà la proiezione dell’asse maggiore dell’ellisse vera.
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La pioggia scendendo tranquillamente per la verticale AB fig. 74) nel Fig. 74 mentre che la barca camminava per CB, ne nasceva per le gocciole d’acqua un moto relativo inclinato AC che era diretto secondo la diagonale del parallelogrammo costruito sulle due rette rappresentanti la velocità della barca e della pioggia.
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Un segmento orientato non nullo AB è, dunque, un ente geometrico caratterizzato da un’origine, da una lunghezza (rapporto del segmento di estremi A e B ad una unità prefissata), da una direzione e da un verso. E ad evitare equivoci giova rilevare esplicitamente che qui con la parola «direzione» si intende denotare la caratteristica comune ad una data retta e a tutte le sue parallele (o punto improprio della Geometria proiettiva) indipendentemente dalla determinazione del verso. In altre parole si riguardano come aventi la stessa direzione due segmenti orientati appartenenti alla stessa retta o a rette parallele, abbiano o no il medesimo verso.
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Trovare la traiettoria percorsa dal battello; il tempo impiegato da esso ad attraversare il fiume; la massima distanza da AB cui il battello è trascinato dalla corrente, la velocità che esso ha in tale posizione.
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E in primo luogo supponiamo che in un certo moto rigido si verifichi la circostanza, evidentemente realizzabile, che, un triangolo determinato ABC si muova in modo che ciascuno dei tre segmenti orientati AB, BC, CA si mantenga equipollente a se stesso. Allora, preso un qualsiasi punto P 1 solidale con ABC e considerata nelle sue successive posizioni la quaderna di punti (sghemba o piana) ABCP 1, si assoda che, per, la rigidità, resta equipollente a se stesso anche ciascuno dei segmenti AP 1, BP 1, CP 1; onde, infine, preso un ulteriore punto P 2, solidale con ABC (e P 1), si conclude, in base alla considerazione delle successive posizioni assunte da ABP 1 P 2 , che anche il segmento orientato P 1 P 2 conserva immutata, durante tutto il moto, la sua direzione e il suo verso. In altre parole, nel moto considerato ogni vettore P 2 – P 1, determinato da due punti in moto quali si vogliano, si mantiene costante, non solo in lunghezza come in ogni altro moto rigido, ma anche in direzione e verso. Ogni moto rigido siffatto dicesi traslatorio.
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Infine, se si chiama proiezione di un segmento orientato AB su di una retta o su di un piano il segmento orientato A 1 B 1, che ha per origine e per estremo le proiezioni ortogonali di A e B rispettivamente sulla retta o sul piano considerato, è manifesto che se due segmenti orientati sono equipollenti , sono tali anche le loro proiezioni su di una stessa retta (o su rette parallele) come pure su di uno stesso piano (o su piani paralleli).
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Se A e B sono le posizioni occupate su π inizialmente da certi due punti di p, basta conoscerne su π le posizioni finali A' e B' (che per la rigidità debbono esser tali che A'B' = AB) perché risulti individuata la posizione filiale dell’intero piano. Invero se C è la posizione inizialmente occupata su π da un qualsiasi punto di p, esso alla fine. dovrà assumere la posizione C' tale che la tenia A'B'C' (triangolare o allineata) risulti direttamente uguale ad ABC (cfr. per lo spazio il n. 1 del Cap. III).
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Il polo I 1, o I 2 corrispondente a codesta prima o seconda posizione di AB si ottiene sulla γ come estremo del raggio O I 1 od O I 2 perpendicolare alla OY od OX dalla stessa parte della O X od OY rispettivamente; cosicché la base del moto rigido è precisamente l'arco di circonferenza il cui angolo al centro è π – α cioè β. Inoltre osservando che il triangolo O A 1 I 1, risulta rettangolo in A 1 e che l'angolo è, in valore assoluto, uguale a si conclude che il raggio O I 1 di γ (e quindi il diametro di c) è dato da
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Esclusi questi casi di annullamento, si ottiene una espressione esplicita semplice per M r, prendendo come punto P il piede su r della minima distanza δ della linea d’azione AB di v applicato in A dalla retta r (o braccio di leva del vettore applicato B-A rispetto alla retta r): in tale ipotesi la lunghezza del momento polare M di v rispetto a P è data da vδ; ed è manifesto che, se si indica con l'angolo minimo delle rette non orientate r e AB, p l'analogo angolo minimo di r e della linea d’azione, non orientata, di M è il complemento di Θ , cosicché si conclude che il valore assoluto di M r è dato da vδ sen Θ; e, per quanto si è detto pocanzi, avrà precisamente
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AB, ha ufficio essenziale, ufficio che spetta invece all’arco simmetrico CD, quando si inverte la marcia. I due archi di raccordo BC, DE non sono destinati a venire in contatto coll’altra ruota; sicché, per essi, è superflua la considerazione dei profili coniugati; la scelta dipende da modalità costruttive, su cui non è il caso di intrattenersi.
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È appunto per evitare questo inconveniente che in Geometria, fissata l'unità delle lunghezze (il metro), si assumono come unità delle aree e dei volumi rispettivamente il quadrato di lato 1 e il cubo di spigolo 1 Per convincersene nel caso più banale possibile, si supponga di prendere come unità di misura delle aree il quadrato di lato k (anziché di lato 1): allora l'area del rettangolo di dimensioni a e b è dato da anziché da ab. .
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Poiché su di una superficie di rotazione la normale in ogni suo punto giace nel piano meridiano passante per esso, le eventuali posizioni di equilibrio di P si troveranno sull’ellisse in cui E vien segato dal piano verticale passante per AB. Ora su questa ellisse esistono due punti in cui la normale risulta verticale, cioè i punti di contatto delle due tangenti orizzontali (punto più alto e punto più basso dell’ellisse); e di questi due punti soltanto l’inferiore è posizione di equilibrio dell’anello giacché soltanto in esso la normale orientata verso l'esterno di E risulta diretta all’ingiù.
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Tornando al caso di un vettore v qualsiasi, osserviamo che le relazioni (l) tra le componenti di un vettore v e le coordinate degli estremi di un suo segmento rappresentativo AB suggeriscono la convenzione (dovuta al Grassmann Hermann Grassmann, n. a Stettino nel 1809, visse quasi sempre in questa città dove morì nel 1877. Gli si deve un metodo originale di calcolo geometrico (pubblicato nel 1844 sotto il titolo di Ausdehnungslehre) che comprende in particolare la teoria dei vettori e trova applicazione in parecchie questioni non solo di geometria, ma anche di meccanica e di fisica matematica. ed oggidì adottata universalmente) di rappresentare il vettore v come differenza dei due punti A,B:
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L’attrazione del segmento AB in P è identica a quella dell’arco C (supposto anch’esso omogeneo e di densità v, come il segmento). Ne viene (es. prec.) che l'attrazione in P della retta indefinita (la quale si ottiene come caso limite immaginando che A e B si allontanino indefinitamente in versi opposti) è diretta secondo PN e vale Cfr p. es. Tarleton , An introduction to the mathematical theory of attraction, vol. I (Londra: Longmans, 1899), p. 7.
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Si vuol abbattere un albero (verticale) AB, avendo a propria disposizione una corda meno lunga dell’albero. La si attacca ad un punto C dell’albero alto x dal suolo e la si tende in modo che il suo estremo D venga a trovarsi ad un metro di altezza; poi si tira. Detta l la lunghezza della corda (in metri), come si deve prendere x, perché lo sforzo iniziale, necessario per provocare la rotazione attorno ad A, risulti minimo? [Bisogna fare in modo che la retta CD disti il più possibile da A].
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Conoscendosi il peso p dell’asta (trave), la distanza l tra gli appoggi A e B, il loro dislivello h, la distanza a del baricentro da A e l’inclinazione α di AB, determinare (graficamente e numericamente) la reazione dell’appoggio B, supposto privo d’attrito. Verificare che, se non c’è il bullone, l’equilibrio può sussistere solo a patto che intervenga l'attrito e che in ciascun appoggio l'angolo di attrito superi l’inclinazione α. [La reazione in B vale ]
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In tal caso ogni singola asta AB del sistema è esclusivamente soggetta all’azione dei due sforzi Φ A, Φ B che essa subisce agli estremi dai nodi A e B; e le condizioni di equilibrio a) esprimono semplicemente che, per ogni asta, i due sforzi, dovendosi equilibrare (Cap. prec., n. 3), sono direttamente opposti. Se sono diretti entrambi verso l’interno dell’asta, i due sforzi diconsi pressioni e l’asta, che deve resistere ad una compressione, chiamasi puntone; mentre, invece, se i due sforzi sono diretti verso l’esterno, si chiamano tensioni e l’asta, che deve resistere ad una trazione, si dice tirante.
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. - Consideriamo un filo pesante AB,in equilibrio sotto l’azione di due forze F A ed F B applicate agli estremi e della gravità. La gravità sollecita, ogni tratto del filo, anche piccolissimo; talché, se per fissare le idee supponiamo il filo omogeneo e di densità (lineare) 1 (Cap. X, n. 6), siamo condotti a rappresentarci ciascun elemento materiale ds del filo come sollecitato da una forza g ds (infinitesima dello stesso ordine del ds)dove g denota al solito l’accelerazione (vettoriale) della gravità.
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. - Date le forze F A ed F B applicate agli estremi di un filo AB e la forza unitaria F, che caratterizza una certa sollecitazione continua, osserviamo anzitutto che, in condizioni statiche, ogni tratto di filo AP, compreso fra A e un generico punto P della funicolare, risente in P,per effetto del suo collegamento col residuo tratto PB, una certa azione T, analoga agli sforzi Φ delle singole aste del poligono funicolare; onde, per estensione a questo caso limite delle norme di comportamento degli sforzi nelle sollecitazioni discrete, si è condotti ad ammetter che la T sia diretta verso il punto infinitamente vicino a P sulla funicolare, cioè lungo la tangente in P, ed abbia carattere di tensione. Essa dicesi appunto tensione della funicolare nel punto P. Perciò, se si conviene di designare con s l’arco AP di funicolare misurato positivamente da A verso B, la tensione, per ogni determinata funicolare, è un vettore funzione dell'arco, tangente alla funicolare e sempre diretto nel verso delle s crescenti.
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Segue di qui e dall’unicità del minimo che, se un arco di catenaria ha per estremi due punti A, B, posti al medesimo livello, esso giace tutto al disotto della orizzontale AB ed è simmetrico rispetto alla verticale mediana, il che era ben prevedibile data l’interpretazione statica.
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Prescindendo dapprima dalla ipotesi che si tratti di una linea materiale, consideriamo un corpo S di costituzione fisica qualsiasi, la cui configurazione geometrica possa immaginarsi definita da una certa areola piana che, pur variando di forma e di grandezza, si muova descrivendo con un suo punto interno P un certo arco di curva AB (direttrice) e mantenendosi, in ogni sua posizione, normale a codesta curva. Denotiamo con σ1, σ2 le facce terminali in A e B, entrambe normali, per ipotesi, alla direttrice. Se per semplicità ammettiamo che le sezioni del corpo normali alla direttrice seghino ciascuna in un sol punto codesta curva, la sezione condotta per un punto generico P della direttrice si potrà individuare assegnando la lunghezza s dell’arco AP, misurato p. es. positivamente da A verso B.
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. - Come ulteriore applicazione delle osservazioni del n. 47, consideriamo una verga AB, che allo stato di equilibrio naturale, cioè in assenza di ogni sollecitazione attiva, abbia una configurazione piana; e immaginiamo che essa abbia raggiunto uno stato di equilibrio forzato sotto una data sollecitazione esclusivamente terminale e simmetrica rispetto al suo piano, cioè, precisamente, sotto l'azione, agli estremi A e B,di due forze F A ed F B giacenti nel piano di figura, e di due momenti (flettenti) M A ed M B, perpendicolari a codesto piano.
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(Si eguagliano i valori delle tensioni, che spettano in B ai due tratti AB e BC. Il primo è dato dalla solita formula della catenaria; il secondo - lo si dimostri - è dato dal prodotto del peso del tratto BC per sin β ecc.).
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Una seconda volta lo si sostiene anche nel punto medio, attaccandolo al punto di mezzo C del segmento AB. Dimostrare che nei punti estremi A, B le due catenarie del secondo caso hanno la stessa inclinazione della catenaria intera; mentre la tensione è ridotta alla metà.
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. - La struttura cinematica di una tal bilancia è schematicamente la seguente: Un giogo AB, mobile intorno ad un suo punto O (compreso fra A e B) è collegato all’estremo B e in un punto C compreso fra O e B, mediante due aste verticali, a due piattaforme DE, FG, appoggiate la prima su di un coltello fisso E, la seconda su di un coltello H G fissato alla piattaforma inferiore. Le due piattaforme sono entrambe orizzontali, quando è orizzontale il giogo.
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. - Dati un vettore v di componenti X, Y, Z e un punto A di coordinate x ', y', z ',il segmento orientato di origine A,che ha lunghezza, direzione e verso eguali a v (ed è perciò atto a rappresentarlo) ha per estremo, in virtù delle (1), il punto B di coordinate Queste formole suggeriscono quest’altra convenzione, pur essa dovuta al Grassmann: si chiama somma del punto A e del vettore v l’estremo B del segmento orientato AB che rappresenta il vettore v, e si scrive
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che si suppone prolungata nel prisma; lo stesso pennello luminoso nel sortire dalla faccia opposta AB per ritornare nell'aria devia nuovamente dalla sua direzione, ma, invece di avvicinarsi alla perpendicolare p’i’ se ne allontana, e così i raggi luminosi sono piegati, rifratti verso l’altra faccia, o la base del prisma. La deviazione crescerà col crescere dell’angolo della sommità A, che è l’angolo rifrangente del prisma, e col crescere della forza rifrangente della sostanza che compone il prisma.
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Così CaC rappresenta l’apertura angolare della lente L, mentre 2 (aCb) è l’angolo che inchiude il campo della veduta, supponendo che ab sia la semigrandezza della immagine prodotta dalla lente.
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Sia la retta AB, avanti cui si pone la lente mn col diaframma SS, i raggi che partono dalla retta non possono tutti arrivare alla lente, ma solamente quelli che partono dalla porzione A' B', perchè per tutta la retta il diaframma è troppo distante; all’opposto il diaframma è troppo vicino alla lente affinchè i raggi, che vengono dalla porzione A" B", possano stendersi sopra tutta la superficie della lente, pei quali una parte notevole di questa è resa affatto inattiva.
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Infatti sia AB la negativa a copiare, FG la lente dell’oggettivo e P un punto trasparente della negativa.
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Se si osserva l’oggetto AB sotto l’angolo visuale AoB, ossia sotto l’angolo formato dagli assi secondarii tirati dal centro dell’occhio alle estremità opposte dell’oggetto, si troverà che se l’oggetto si avvicina l’angolo cresce, e decresce se l’oggetto si allontana sino ad A’ B’, per esempio. Nel primo caso l’oggetto si giudica vicino, e più distante nell’altro caso, e ciò perchè la grandezza dell’immagine proiettata sulla retina è relativa alla grandezza dell’angolo visuale.
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Quindi la retta AB viene otticamente definita come il luogo dei punti le cui immagini cadono in T (immagine di B), e la retta AC parimente come il luogo dei punti la cui immagine cade in T (immagine di C).
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Se B varii rispetto ad A, cresca cioè o diminuisca la distanza AB, il criterio della segnalazione (ottica, elettrica ecc.), non permette più di fissare la simultaneità degli istanti iniziali; ove si adotti semplicemente codesto criterio, come se A e B fossero fissi, si troverà nella rappresentazione del tempo una costante addittiva locale, che potrà essere avvertita soltanto ove sia possibile di ricorrere all'altro criterio del trasporto, cioè coll'invio di un orologio da A in B.
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Ma la suddetta azione amperiana dipende dalla direzione della retta AB, e però diventa virtualmente constatabile con esperienze interne ad S.
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Poscia dobbiamo stabilire il tempo che la luce impiega a percorrere il tratto AB. Ciò potremo fare molto semplicemente: inviando da A un raggio verso B, ed osservando in quanto tempo esso giunga precisamente in B. A tal uopo ci serviremo di due orologi, perfettamente uguali nel ritmo e nella posizione delle sfere.
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Dobbiamo ritenere che durante il tempo trascorso dalla prima alla seconda serie di misurazioni il sistema di coordinate abbia girato nella direzione che indica la freccia della figura 8a, in modo che la retta AB assuma la direzione della CD. Tutto ciò non significa se non che la Terra gira intorno al suo asse passante per i due poli Nord e Sud. Con altre parole l'esperienza del pendolo del Foucault dimostra la rotazione giornaliera della Terra intorno al suo asse (3).
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Accademia della crusca
