Lo studioso può qui, osservando attentamente la figura 10, persuadersi che, qualunque sia l’angolo compreso fra la linea Oa e la retta OP (che sappiamo variar soltanto tra zero e il valore dell'obliquità, l’equatore resta pur sempre diviso per metà dal circolo d'illuminazione proiettato in ab', e che per conseguenza un paese situato sull’equatore deve aver sempre, come ha infatti, il giorno eguale alla notte.
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la macchia centrale circolare oscura, una porzione soltanto del disco solare manda i proprii raggi, e quella porzione sola quindi è visibile a chi si trovi entro di essa zona, per esempio in B Il luogo B va immaginato entro lo spazio ab, e questo vuol indicare la lineetta che nella figura sta a lato di B., rimanendogli l'altra parte del disco del Sole mascherata da quello oscuro della Luna.
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Si osserva innanzi tutto che il gruppo AB è dovunque il meno numeroso e si vede poi come la distribuzione delle frequenze dei gruppi sanguigni varî sensibilmente nei diversi gruppi etnici.
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Questi risultati si potevano prevedere intuitivamente osservando che le condizioni (β) impongono alla sinusoide di avere la stessa ordinata e la stessa inclinazione in A ed in B (e quindi l'intervallo AB deve essere un multiplo della lunghezza d'onda donde la (28)) ma resta arbitraria la fase θ della sinusoide in A.
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. — Se un fascio parallelo di particelle (p. es. raggi catodici) viene lanciato perpendicolarmente contro uno schermo AB (fig.23) munito di una fessura di larghezza d, ogni volta che una particella passa attraverso la fessura si può dire che si è determinata la sua coordinata y ( supposto che l'asse y sia posto trasversalmente alla fessura) con una incertezza
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Ha notevole interesse per le applicazioni (ad alcune delle quali si accennerà nel seguito) il problema del moto di una particella lungo una retta x, sotto l'azione di un potenziale nullo dappertutto, tranne che in un certo intervallo AB, entro il quale esso cresce fino ad un massimo e poi decresce fino a 0: andamento qualitativamente rappresentato dalla fig. 30. La zona AB costituisce ciò che chiamasi una barriera di potenziale: una particella che provenga p. es. da sinistra trova forza nulla fino ad A, poi incontra una forza ritardatrice da A a C', indi forza acceleratrice da C' a B, e poi di nuovo forza nulla.
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Nè varrebbe il dire che queste contraddizioni potrebbero dipendere dall'influenza delle grandi città, perchè vediamo la provincia di Palermo inferiore nei furti qualificati (150 per 100.000 ab.) a quella di Trapani (168) e Catania (173) e negli altri reati in genere contro le proprietà la provincia di Palermo (243) inferiore a quelle di Catania (248) e Caltanisetta (272).
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Se allo stesso segmento, invece del verso da A a B, si attribuisce l’altro che da B va ad A, si ha il segmento orientato BA, che ha la stessa linea d’azione di AB, ma l’origine B e l’estremo A.
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., che da A va a B, il segmento si chiama orientato e si indica colla notazione AB. Il punto A dicesi origine o primo estremo, il punto B secondo estremo, ovvero estremo libero, o semplicemente estremo; la retta su cui giace il segmento linea d ’azione.
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La sua posizione finale B', per la condizione A'B' = AB, giacerà sulla circonferenza di centro A' = B e di raggio BA; e necessariamente dovrà presentarsi l'una o l'altra delle seguenti tre circostanze, che partitamente discuteremo :
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Sotto le ipotesi poste, le posizioni estreme dell’asta AB si avranno quando essa si dispone lungo la semiretta OX coll’estremo B in O ed A in A 1, e quando si dispone lungo la OY con l’estremo A in O e B in B1.
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Così, considerando il prolungamento OY' di OY e immaginando proseguito il moto di AB negli angoli e si conclude che l’intero moto (evidentemente periodico quanto alle circostanze geometriche) si attua col rotolamento della circonferenza c di diametro (2) entro una circonferenza di diametro doppio. Si tratta dunque di un moto epicicloidale.
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La qualifica destrorsi o sinistrorsi si trasporta senz’altro a due vettori applicati AB, PQ, non complanari, ed anche ad una coppia mista (retta orientata r e vettore applicato PQ che non la incontra, né le è parallelo) coll’intesa evidente, che ci si riporti al criterio precedente, sostituendo a ciascun vettore applicato la sua linea d’azione orientata nel verso del vettore.
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a) Supponiamo in primo luogo che A H sia un arco di ipocloide e AB un arco raccordato di epicicloide, l’una e l’altra aventi per base la circonferenza primitiva. Dal n. 40 risulta senz’altro che la ruota compagna presenterà anch’essa fianchi ipocicloidali e coste epicicloidali (raccordate). Questo tipo di ingranaggio si chiama epicicloidale.
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Quando si risguarda assegnata una delle due ruote, e la sua velocità angolare ω, nonché la velocità angolare ω' con cui si vuole che giri la seconda ruota, rimane senz’altro individuato il raggio ρ' (in base alla relazione ωρ = ω'ρ'), e la determinazione del profilo coniugato ad un generico arco AB si riporta automaticamente alla teoria del moto epicicloidale.
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A individuare siffatto vettore possiamo assumere il segmento orientato AB o, indifferentemente, uno qualsiasi dei suoi equipollenti, nello stesso modo in cui a determinare una direzione si può scegliere una qualsiasi delle rette parallele, aventi comune la data direzione, e a determinare una data giacitura (retta impropria della Geometria proiettiva) si può assumere uno qualsiasi dei piani paralleli, che la contengono.
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Per convincersene nel caso più banale possibile, si supponga di prendere come unità di misura delle aree il quadrato di lato k (anziché di lato 1): allora l'area del rettangolo di dimensioni a e b è dato da anziché da ab.
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Poiché per individuare un vettore v basta assegnare un segmento orientato AB (scelto ad arbitrio fra gli ∞3 che hanno lunghezza, direzione e verso eguali a quelli di v), qui, con riferimento alla terna di assi prefissata, basterà dare le coordinate x', y', z' e x", y", z" dell’origine A e dell’estremo B di un tal segmento orientato.
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A tale scopo, designati con A, B i punti in cui una generica generatrice del cono elementare interseca da una parte di P i due ellissoidi, con A', B' i punti in cui la stessa generatrice interseca i due ellissoidi dalla parte opposta di P, osserviamo che il volume dell’elemento di omeoide in AB è eguale (a meno di infinitesimi di ordine superiore) al volume di un cilindretto (in generale obliquo) di base dσ e di lato (a meno di infinitesimi trascurabili) AB. La sezione normale in A di questo cilindretto si può identificare (al solito a meno di infinitesimi) coll’elemento dϖ che il cono proiettante il dσ da P intercetta sulla sfera di centro P e raggio PA, onde, il volume del cilindretto o, in ultima analisi, dell’elemento di omeoide è dato (a meno di infinitesimi trascurabile) da
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Ciò implica l'uguaglianza dei due segmenti AB, A'B' e, quindi, dei valori assoluti (15), (15') delle attrazioni su P dei due elementi considerati.
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rappresentando v la densità (lineare), N la proiezione di P sulla retta AB, e supponendo orientato il segmento da B ad A con conseguente effetto sui segni di NA, NB. Verificare che il valore non muta scambiando A con B (e invertendo in conformità il senso).
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Invero in tal caso la regione piana comune ai due angoli di attrito è un triangolo P 2 AB tale che la verticale di ogni punto di P 1, P 2 ha comune con essa un intero segmento (o, almeno, un punto, se si tratta della verticale di P 2).
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Una gru ABC, girevole attorno ad un asse verticale AB, ha il perno inferiore A sostenuto dalle fondazioni (fisso), mentre il perno superiore B, distante h da A, è semplicemente inserito in un cuscinetto. La gru pesa p, e sopporta un carico q applicato in C. Le distanze del baricentro e di C dall’asse sono rispettivamente a e c.
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In tutto il resto c’è simmetria rispetto al piano che dimezza perpendicolarmente AB. La portata (distanza degli appoggi) è b, il peso della trave è p.
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Un’asta AB è appoggiata in A ad un muro verticale, in B ad un piano orizzontale. Essa si trova in equilibrio in piano verticale sotto l’azione del suo peso p. In B è impedito ogni scivolamento da un rialzo di terreno; le cose vanno quindi come se B fosse fisso.
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Un’asta AB, fortemente premuta tra due pareti verticali, si trova in equilibrio in un piano verticale perpendicolare alle pareti. Ciò presuppone - lo si verifichi anzitutto - che l’asta sia interna ai due coni di attrito relativi agli appoggi A e B.
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le condizioni che esprimono che ogni asta AB si trova in equilibrio sotto la sollecitazione esterna delle forze direttamente applicate ad essa e delle due reazioni Φ A e Φ B, provenienti dal collegamento coi nodi A, B: queste due reazioni diconsi gli sforzi esercitati dai due nodi sull’asta;
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A tale scopo consideriamo un’asta generica AB del sistema articolato e sia f una qualsiasi delle forze che in Σ sono applicate ad essa. Poiché l'asta è rigida, possiamo, senza pregiudizio dell’eventuale equilibrio (Cap. prec., n. 2), sostituire alla f un qualsiasi sistema di forze vettorialmente equivalente (purché si tratti di forze applicate a punti dell’asta); in particolare possiamo sostituire ad f due forze f A, f B parallele alla f e dirette nello stesso verso, applicate rispettivamente negli estremi A, B dell’asta (non nei nodi corrispondenti). Operando analogamente su tutte le forze di Σ, direttamente applicate all’asta AB, componiamo tutte le f A e, rispettivamente, tutte le f B così ottenute, in due forze R A, R B applicate in A e B; e indichiamo con R' A, R'' A,… le risultanti omologhe alla R A che, per le varie altre aste, eventualmente concorrenti in A, si ottengono come applicate nei rispettivi estremi, collegati al nodo A. Infine denotiamo, come al n. prec., con Φ A, Φ B gli sforzi che l'asta AB subisce dal suo collegamento ai nodi, con F A la forza direttamente applicata al nodo A e Ψ, Ψ', Ψ'',… le azioni che codesto nodo risente dalle varie aste ad esso collegate, ricordando (n. 2) che se Ψ è dovuta all’asta AB si ha
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Il suo carico consta di due cunei uguali, a forma di triangoli rettangoli, simmetricamente disposti rispetto alla verticale mediana in guisa che due cateti siano orizzontali, uguali ciascuno a ½ AB, e abbiano comune, sulla verticale mediana il vertice dell’angolo acuto.
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Assegnare la lunghezza l 1 del tratto pendente, in funzione di l e di a (distanza AB), supponendo trascurabili le dimensioni e l’attrito della carrucola.
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Un’asta AB è girevole attorno ad A in piano verticale. Una seconda asta è articolata in B, e liberamente girevole nello stesso piano verticale. Le due aste sono omogenee, di pesi rispettivi P e q. In C è applicata una forza orizzontale di intensità F. Se φ e ψ sono le inclinazioni delle due aste (sull’orizzontale) siha, a equilibrio stabilito,
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Una sottile asta AB inclinata di un angolo O sulla verticale ascendente del suo estremo A, ruota attorno a tale verticale con velocità angolare costante ω. Una pallina pesante può scorrere senza attrito sull’asta. A quale distanza l da A può la pallina trovarsi in equilibrio relativo?
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Dimostrare che, se AB e CD sono due corde d’un cerchio perpendicolari fra loro e se si indica con P il loro punto d’intersezione, il sistema dei quattro vettori applicati in P, A-P, B-P, C-P, D-P equivale ad un vettore unico che passa per il centro O del cerchio ed è doppio di P - 0.
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mn indica una superficie piana, per esempio uno specchio, AB indica il raggio incidente, BC indica lo stesso raggio riflesso dalla superficie, BD è una perpendicolare alla superficie, che chiamasi normale. L’angolo di incidenza è l’angolo ABD, mentre CBD è l'angolo di riflessione. Quando la luce cade perpendicolarmente sulla superficie, i raggi di incidenza e di riflessione sono nulli e si confondono insieme.
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I raggi che partono dal punto p, e che cadono sulla lente anteriore AB dell’oggettivo ABDE, sono rifratti in modo, che senza il diaframma mm cadrebbero tutti in f; ma essi incontrando la lente di dietro nella posizione hk vengono maggiormente inclinati verso
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GIROLAMO SACCHERI, nel suo «Euclides ab omni naevo vindicatus....» (1773), parte dalla costruzione di un quadrilatero con tre angoli retti, e distingue le tre ipotesi che (in relazione alle proprietà 1).... 5)) apparisconoa prioripossibili intorno al quarto angolo: che esso sia retto, ottuso o acuto. Dimostra che ciascuna di queste ipotesi si troverà verificata perogni quadrilatero, nelle condizioni suddette, quando sia verificata in un caso particolare.
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Se tre punti A, B, C di un piano sono tali che il segmento BC non sega la retta a ed il segmento AB la sega, il segmento AC segherà la a;cioè se B, C sono dalla medesima parte di a, ed A, B da parte opposta, anche A, C saranno da parte opposta.
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Le rappresentazioni delle due coppie AB, CD non sono identiche, ma possono associarsi per
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Consideriamo per semplicità due figure congruenti, costituite da due coppie di punti fisici equidistanti, AB, CD; e poniamo, p. es., che la distanza dei suddetti punti di una coppia sia di tre dita.
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La Statica ordinaria si fonda su di esso; ma una critica approfondita permette di riconoscere quale sarebbe una Statica non-euclidea: due forze uguali perpendicolari ad un'asta rigida AB nei suoi estremi, darebbero una resultante perpendicolare ad AB nel suo punto medio O, precisamente come nel caso euclideo, ma, a differenza di questo caso, la resultante non sarebbe più uguale alla somma delle due componenti (FONCENEX, LAGRANGE, D'ALEMBERT, GENOCCHI, DE TILLY). Ecco dunque un'espressione statica del postulato geometrico delle parallele, una supposizione nuova che riconosciamo contenuta in esso, il cui verificarsi, nell'ordine del rigore sperimentale, costituisce una nuova prova della Geometria euclidea; se all'opposto questa verificazione avesse lasciato scorgere una differenza apprezzabile dal previsto, essa avrebbe potuto condurre a correggere i principii stessi di quella Geometria.
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Per spiegare tale resultato negativo Lorentz stesso e FITZ-GERALD hanno fatto l'ipotesi che tutte le lunghezze dei corpi in moto subiscano un piccolo accorciamento nel senso della traslazione; quindi le distanze AB, AC che nell'esperimento appariscono uguali, in realtà (cioè rispetto all'etere) sieno da riguardare come diverse.
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In S sono dati tre punti A, B, C vertici di un triangolo isoscele, rettangolo in A; AB è la direzione del moto traslatorio di S, AC è perpendicolare a questa; allora le velocità di propagazione della luce da A in B, e da A in C debbono essere diverse.
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La teoria esige che si consideri π corrispondente alle indicaziοni positive degli orologi in S, attesochè l'accordo di orologi diversi si stabilisce in S come se il tempo impiegato dalla luce per andare da un punto A ad un punto B sia indipendente dal verso del segmento AB, ciò che non vale più per riguardo al tempo vero, nelle ipotesi di Lorentz.
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Determiniamo poscia — il che è sempre possibile, con una semplice costruzione che ci insegna la Geometria elementare — il punto centrale M del tratto AB. In tal punto, come indica la figura 10, poniamo due specchi in modo da poter vedere in essi, simultaneamente, la imagine dei due punti A e B.
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Misuriamo da prima la distanza fra i due punti A eB, riportando l'unità di misura — possiamo assumere un chilometro — lungo il tratto AB, tante volte quante occorre, partendo da A, per giungere in B. Il numero delle volte che avremo dovuto riportare la detta unità, ci esprime la misura della, distanza. Questa sarà esattamente di 300.000 chilometri.
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Se Oo invia da A verso B un raggio di luce, questo, secondo il principio di Relatività, percorrerà la distanza AB nello stesso
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. - Come si è detto Oo può misurare la lunghezza del tratto AB allo stato di quiete, riportando un dato numero di volte una misura unitaria di un chilometro e, precisamente, 300 volte, in modo da giungere alla conclusione che il tratto è lungo 300.000 chilometri.
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Se si tracciano tanti diametri quanti si voglia, essi, rispetto a quello parallelo alla direzione del movimento del sistema, riprodurranno esattamente le condizioni che abbiamo descritte nell'esempio dianzi dato, quando allontanavamo il segmento AB dalla direzione del movimento del suo sistema. Tutti i diametri non avranno per O’o, il cui sistema è in moto rispetto ad O, la stessa lunghezza; ma, non come nell'esempio citato le successive posizioni del segmento AB, a mano a mano che egli considererà diametri passanti per i punti del contorno del cerchio, li troverà sempre meno corti, cioè più lunghi
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AB e C.D si chiamano rispettivamente asse maggiore ed asse minore, F ed F' fuochi, punti caratteristici dell'ellisse, i quali godono di una importante proprietà ottica ed acustica: se un raggio luminoso (od un suono) viene inviato da F sul contorno, esso viene riflesso in F', e viceversa. - Da ciò, appunto, il nome di fuochi.
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Poi che per distanza di un punto da una retta si intende la lunghezza del segmento di perpendicolare abbassata dal punto su la retta, nella figura 5, la posizione di E è determinata dalla lunghezza dei segmenti EF, distanza da AB, ed EG, distanza da AD.
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Accademia della crusca
