Da ciò si comprende, che ogni volta, che λ, crescendo, passa per uno degli autovalori, un nuovo nodo entra nell'intervallo AB. Indicando con λ1, λ2
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L' intervallo in cui interessa l' integrazione sia (-l, l), e consideriamo separatamente i due tipi, (α) e (β), di condizioni agli estremi.
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la quale risulta uniformemente convergente nell'intervallo (a, b).
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È questo lo sviluppo di Fourier: esso rappresenta la funzione f(x) entro l'intervallo (-l, l) anche se essa ha in esso dei punti di discontinuità
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Se si calcola, mediante la (36), l'integrale di ff* esteso a tutto l'intervallo (-l, l), si trova facilmente
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Si può quindi prendere, come autofunzione normalizzata della (21) nell'intervallo (0, [simbolo eliminato] )
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Generalizzando ciò che si è visto su questo esempio particolare, diremo che: l'equazione (14), per un intervallo infinito, può presentare uno spettro
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(1) Il limite si riferisce al caso che l'intervallo sia infinito da entrambe le parti: altrimenti si legga solo + [simbolo eliminato] , o [simbolo
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Dunque, a rigore, la luce non è mai monocromatica se non viene emessa per un intervallo infinito di tempo.
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frequenze comprese in un piccolo intervallo, ossia che A(k) si possa ritenere diverso da zero solo per k compreso entro un piccolo intervallo . Potremo
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da un intervallo di tempo noto. Sappiamo però che ogni determinazione di x, y, z introduce un'incertezza su data, nelle condizioni più favorevoli
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fase, rappresenterebbe l'intervallo tra due di questi cambiamenti.
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Si tratta di trovare gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione, per l'intervallo da a .
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Essi costituiscono (essendo autofunzioni della (238)) un sistema di funzioni ortogonali nell'intervallo (— 1, + 1): non sono però normalizzati
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Queste funzioni si chiamano «funzioni associate di Legendre» esse sono, naturalmente, ortogonali nell'intervallo (— l, + 1), ma non sono normalizzate
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che si può esprimere così: le funzioni costituiscono un sistema ortogonale e normalizzato nell'intervallo da 0 a .
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Infatti, se l'intervallo non contiene la funzione è nulla in tutto l'intervallo, e quindi l'integrale è nullo: se poi l'intervallo (a, b) contiene
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se l'intervallo (a, b) non contiene
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se f(x) è una funzione qualunque (purchè limitata entro l'intervallo che si considera e continua in , è
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tutto il moto la variazione subita dalla velocità in un qualsiasi intervallo di tempo Δ t sta all’intervallo stesso nel rapporto fisso a,cioè
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dicesi accelerazione media del punto P nell’intervallo di tempo da t a t + Δt.
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Si ha dunque che ogni intervallo di tempo T determina, per così dire, sui caratteri del moto una contrazione (smorzamento) nel rapporto
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18. Per valor medio di una funzione f(λ) in un generico intervallo (λ l, λ 2) si intende il rapporto
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5. Condizione necessaria e sufficiente perché (durante un assegnato intervallo di tempo) si conservi fissa l’orientazione dell’asse istantaneo di
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L’accennata analogia porta ad ammettere che la velocità di P subisca, durante l’intervallo di tempo Δt, una variazione (vettoriale) Δv, diretta come
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In altri termini, appare acquisito questo risultato: nel moto di un grave, il peso determina, durante un generico intervallo di tempo Δt, una
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intervallo di tempo elementare, la F, a meno di infinitesimi, vi si può considerare costante, onde si può, sempre a meno di infinitesimi, ritenere
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dove T indica la energia cinetica del punto nell’istante t 0 : Cioè la variazione che, in un qualsiasi intervallo di tempo, subisce l’ energia
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Se una forza F, di natura qualsiasi, è applicata ad un punto che comunque si sposti, dicesi potenza media della forza in un generico intervallo di
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Se una forza agisce come forza totale su di un punto materiale libero, l’impulso della forza in un dato intervallo di tempo è uguale alla variazione
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Ma si può invece immaginare che una forza F, agendo per un brevissimo intervallo di tempo τ compreso fra gli stanti t 0 e t 1, assuma in esso
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onde, integrando dall’istante t 0 ad un generico istante t del considerato intervallo di tempo, e designando con v 0 la velocità nell’istante t 0
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degli spazi percorsi in uno stesso intervallo di tempo da t 1 a t 2.
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che dicesi rapporto incrementale di v (t) rispetto all’intervallo da t a t + Δt.
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Fissato fra t 0 e t 1 un intervallo qualsiasi da t a t + Δt, si ponga
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59 . Supponiamo che, ad ogni valore di un parametro t, compreso in un certo intervallo da t 0, a t 1, corrisponda un vettore univocamente determinato.
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Sotto queste ipotesi l’integrale (6) è ancora funzione determinata e continua di λ entro l’intervallo Λ. Se poi esiste la gode delle stesse proprietà
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prima in un intervallo (t,t 1).
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Se si suppone ulteriormente che esista e sia finito e continuo nello stesso intervallo, anche il derivato secondo si può protrarre lo sviluppo fino
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dove con t e t + Δt denotiamo due valori generici dell’intervallo considerato; e formiamo il rapporto incrementale
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Il dP stesso si suole perciò chiamare spostamento elementare del punto (relativo all’intervallo infinitesimo dt).
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Il vettore J che ha per componenti tali integrali chiamasi integrale definito di v, relativo all’intervallo (t 0, t 1), e si rappresenta col simbolo
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70. Sia v un vettore variabile, funzione continua di un parametro t in un generico intervallo (t o, t 1) e siano X, Y, Z le relative componenti.
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. prec., supporremo sempre destrorsa. Ad ogni istante t dell’intervallo di tempo da t 0 a t 1, in cui è definito il moto, il punto P occupa, rispetto alla
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il quale dicesi spostamento di P, relativo all’intervallo di tempo Δt a partire dall’istante t. In particolare per Δt infinitesimo si avrà lo
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cioè in qualsiasi intervallo di tempo Δt , preso a partire da un istante quale si voglia, lo spazio percorso da P sta al l’intervallo stesso nel
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Fissato l’intervallo di tempo Δt fra gli istanti t e t + Δt, e considerato lo spazio Δs percorso da P in codesto intervallo, cioè
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Durante questo intervallo di tempo Δt, il moto di P può presentare rispetto al moto uniforme del punto fittizio P' le circostanze più svariate
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Aggiungiamo infine che un moto si dice accelerato o ritardato in un dato istante t (o in un intervallo di tempo da t a t Δt) secondo che nell’intorno
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dicesi velocità vettoriale media di P, relativa all’intervallo di tempo considerato. Se, tenuto fisso t, facciamo tendere Δt allo zero, codesta
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Accademia della crusca
