L' intervallo in cui interessa l' integrazione sia (-l, l), e consideriamo separatamente i due tipi, (α) e (β), di condizioni agli estremi.
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una integrazione alquanto laboriosa,
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dove fλ è una funzione della variabile continua λ, e l'integrazione rispetto a λ si intende fatta su tutto lo spettro continuo di autovalori. La
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come variabile d'integrazione, notando che
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e , cosicchè la (298) si può anche scrivere (v. (297)e (297')), fissando il limite inferiore in e convenendo di eseguire l'integrazione lungo l'asse
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(e contiene, come si vede, una sola delle due costanti di integrazione). Calcoliamo ora l'integrale di fase
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Anche questo risultato coincide (casualmente) in modo perfetto con quello fornito dall'integrazione rigorosa dell'equazione di Schrödinger
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L'integrale si calcola prendendo come variabile d'integrazione ed osservando che
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cioè in funzione degli integrali di fase Ji (che sostituiscono le f costanti di integrazione ). Si può poi dimostrare che le derivate parziali di
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dove si è indicato, come faremo sempre, con un semplice segno di integrazione l'integrale, generalmente multiplo, esteso a tutto il campo S, e con dS
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Questa equazione ha per autovalore qualunque valore di , e dà, con immediata integrazione,
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dove ogni integrale è sestuplo, e dS sta per , mentre le sommatorie sono doppie, e sostituiscono l'integrazione rispetto alle due variabili
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dove la costante e di integrazione è l’ascissa del punto mobile nell’istante t = 0.
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Un’ulteriore integrazione dà le equazioni del moto
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Poiché inversamente, dalla (3) si risale alla (2) e quindi, per integrazione, alla (1) con r costante, concludiamo che i moti rigidi sono
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che così si ottiene, suggerisce appunto una particolare scelta di variabili che permette di ridurre il problema di integrazione del sistema (20') ad
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Siffatta integrazione non si sa in generale eseguire; ma, con una opportuna scelta di variabili, si può precisare la difficoltà del problema
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servire ad evitare l’integrazione materiale della (17), rendendo senz’altro manifesto il risultato.
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dà per integrazione immediata
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In ogni caso eseguendo nelle due prime equazioni differenziali del moto (13') le sostituzioni (14), si riduce il problema alla integrazione delle due
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rettilineo. Ad ogni modo, sostituendo nella prima delle (13') le espressioni così ottenute per y, z, (ed ), si riduce il problema alla integrazione dell
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caso l’inversione del senso dell’integrazione nella espressione del lavoro implicherebbe il cambiamento di t in -t;e, in generale, non tutto rimane
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’integrazione a tre dimensioni la superficie o, rispettivamente, la linea.
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il campo di integrazione S essendo l’arco L’integrale che sta a numeratore si valuta nel modo più semplice, adottando come variabile corrente d
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dove l’integrazione va estesa al campo racchiuso dall’ellissoide.
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Per eseguire la integrazione nel modo più spiccio, immaginiamo di decomporre il campo di integrazione in dischi elementari di spessore dz, compresi
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L’effettiva integrazione porge
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integrazione indipendenti dai parametri x, y, z (perché il campo S rimane fisso al variare di P), si può ancora applicare la regola di derivazione sotto il
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in quanto si tratta dell’integrale ad 1 dimensione di una funzione che presenta, entro il campo d’integrazione, un infinito del 1° ordine.
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donde (scrivendo s in luogo di ρ quale variabile corrente di integrazione)
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integrale, che si ottiene dall’integrazione per parti Cfr. p. es. Dini, Lezioni di Analisi infinitesimale, vol. II (Pisa: Nistri, 1909), pag. 301. Nella
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34. Consideriamo, per esempio, la Poiché U* dipende da x pel tramite di ρ, ε, γ e i limiti di integrazione (così quelli di spazio, come quelli
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derivate, appare manifesto che la quantità in parentesi è una funzione F, che rimane finita e continua (in tutto il campo di integrazione), anche per ε
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[Si fa l’integrazione delle componenti omologhe delle attrazioni elementari, adottando coordinate polari col polo in P. Si trova rispettivamente
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§ 10 . – Integrazione dei vettori .
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integrazione di un sistema di equazioni differenziali. Precisamente, se la forza unitaria è, o si può riguardare, posizionale, cosicchè le X, Y, Z siano
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Notiamo infine che l’integrazione del sistema (20), (21) introduce, oltre la φ, altre tre costanti arbitrarie, come si riconosce agevolmente in base
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26. Trovate così le equazioni indefinite dell’equilibrio, procediamo all’integrazione.
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dove la costante di integrazione si riduce a zero portando l’origine, con una traslazione degli assi parallela all’asse y, nel punto in cui questo
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e di qui, ricordando la formola elementare di integrazione
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In tale ipotesi, poiché la variabile corrente di integrazione λ si mantiene sempre inferiore a saranno a maggior ragione trascurabili le potenze di λ
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integrazione; con che si ottiene per la funicolare (rispetto ad assi che da quanto precede risultano oramai determinati univocamente) l’equazione
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di integrazione, portando l'asse y, con una traslazione parallela all’asse x, a passare per un punto in cui la tangente alla funicolare è orizzontale
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calcoli, per semplice confronto delle equazioni differenziali. Ma è necessaria la loro preventiva integrazione, se si vuol dare alle condizioni di
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’integrazione (immaginando tagliata la verga lungo una sezione generica).
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dove compaiono tre costanti arbitrarie di integrazione.
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Per individuare uno di codesti moti, ossia per determinare le tre costanti di integrazione, basta prefissare la posizione che il mobile deve occupare
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Per chiarire la natura analitica del problema di integrazione cui si è così condotti, bisogna precisare i dati, cioè in sostanza la velocità
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che si sarebbe potuta ottener direttamente per integrazione della equazione differenziale vettoriale
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Anche qui dunque, per la presenza delle tre costanti arbitrarie di integrazione, si hanno moti, e si può individuarne uno prefissando la posizione
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Accademia della crusca
