, ma non rappresentante la totalità delle autofunzioni di un'equazione differenziale, varrebbe nella (31**) il segno > invece che =).
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Ammetteremo poi che la soddisfi una equazione differenziale analoga alla (106), e cioè Questa equazione vale, a rigore, solo per onde «monocromatiche
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espressione di C, si riconosce nella (223') l'equazione differenziale delle funzioni sferiche di superficie di ordine l.
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dove è un polinomio di grado n' soddisfacente l'equazione differenziale (264), che scriveremo ora nella forma
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L'interesse di queste funzioni sta nel fatto che esse sono soluzioni di una notevole equazione differenziale, come può vedersi nel modo seguente
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caso in cui questo è della forma , si riduce a , si ottiene per la u la seguente equazione differenziale:
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equazione differenziale del tipo già considerato al § 3, p. II:
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Difatti, detti al solito i versori degli assi (autofunzioni di un'equazione differenziale) ogni vettore f si può scrivere nella forma
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Questa equazione non è altro che la (223') del § 46, p. II, cioè l'equazione differenziale delle funzioni sferiche ( corrisponde a ), e i suoi
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La si evolve poi col tempo obbedendo l'equazione differenziale di Schrödinger
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considerandovi la come matrice). Applichiamo perciò alla (259) l'operatore differenziale seguente (che è l'unico per il quale si eliminino i termini in ):
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coefficienti dell'equazione differenziale (1) o (1') è contenuto un parametro λ, cioè una costante indeterminata: il caso più interessante è quello in
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Tali valori di λ si chiamano gli autovalori dell'equazione differenziale data relativi all'intervallo (a, b)) e alle condizioni agli estremi (α) o (β
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Si dice che un'equazione differenziale del tipo (1) è in forma autoaggiunta se fra i coefficienti A(x) e B(x) passa la relazione B = A', cosicchè i
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soddisfa, comunque si scelgano le costanti r e Θ0, alla (40'), la quale è un’equazione differenziale lineare, a coefficienti costanti, omogenea del 2
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Ma dal Calcolo sappiamo che un’equazione differenziale del 2° ordine ammette precisamente ∞2 soluzioni o integrali particolari,ossia che l'integrale
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Questa funzione di t soddisfa alla equazione differenziale (48), comunque si fissino le costanti r, Θ0; e poiché la (48) è del 2° ordine, si conclude
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Com’è ben naturale, per h = 0 la (48) si riduce all’equazione differenziale (40') dei moti armonici (n. 36).
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41. Moti definiti da un’equazione differenziale lineare omogenea del 2° ordine a coefficienti costanti. - Movendo dall’osservazione del num. prec
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Cominciando con alcuni richiami di Calcolo, ricordiamo che ogni equazione differenziale lineare del 2° ordine nella funzione incognita x della
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e sappiamo già (n. 40) che questa equazione differenziale caratterizza per h > 0 i moti oscillatori smorzati (di periodo e costante di smorzamento h
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onde l’integrale generale della equazione differenziale (49) è dato (n. 41) da
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si annullano e il vettore (P - O) Λ a ha due componenti nulle mentre la terza vale Se ne deduce, in base alla (53), che l'equazione differenziale
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dall’annullarsi della accelerazione trasversa a Θ (rispetto ad un determinato punto O, centro del moto); talché la rispettiva equazione differenziale
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Un generico vettore fisso u è caratterizzato, nelle notazioni del n. 10, dall’equazione differenziale
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Va però tenuto presente che, con opportune convenzioni sui sensi è sui segni, si potrebbe facilmente attribuire alla relazione differenziale
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Ne consegue il differenziale d’arco
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47. Le funzioni ρ(ζ), ρ'(ζ') sono legate, in virtù delle (15) e (16'), da una relazione differenziale che merita di essere segnalata, perché, può
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prodotto scalare F x dP della forza F del campo per un qualsiasi spostamento elementare d P del punto di applicazione P è il differenziale esatto di
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differenziale esatto) implica condizioni restrittive per le tre funzioni X, Y, Z di x, y, z: in altri termini una forza posizionale F non è in generale
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e questo è un differenziale esatto. Integrando, si ha che il potenziale, a meno della solita costante additiva arbitraria, è dato da Fz, onde le
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onde, integrando questo differenziale esatto, si ottiene pel potenziale, a meno della costante additiva arbitraria, la funzione della sola ρ
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soddisfare, per la relazione fondamentale della Dinamica, all’equazione differenziale vettoriale
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rappresentando con Δ2 l’operatore differenziale
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Se sostituiamo materialmente dt a Δt e chiamiamo, come in Calcolo, differenziale della funzione (vettoriale) v il prodotto dt, designandolo con d v
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63. Dalle considerazioni precedenti risulta come si possano estendere alle funzioni vettoriali i risultati formali del Calcolo differenziale.
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Inoltre, introducendo come nel caso di un vettore (n. 60), il differenziale del punto variabile P(t),
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Quanto ad s, non è un parametro arbitrario, bensì l’arco di funicolare, cosicché deve essere legato alle x, y, z dall’equazione differenziale
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dopo di che basta dividere membro a membro per la prima delle(20') ed eliminare T ed s,per ottenere l’equazione differenziale
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Ove la y' si risguardi come una incognita ausiliaria, la (28) è un’equazione differenziale del primo ordine a variabili separate, che si integra
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differenziale fra le sole coordinate x, y dei punti della funicolare.
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Cfr. per es. Bianchi, Lezioni di Geometria differenziale, (3a ediz.), Pisa, 1922; volume I, § 101.
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fra la tensione e il suo differenziale la relazione
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È questa l'equazione differenziale che definisce l’ elastica piana nell’ipotesi c 0 = cost.
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differenziale primo (per il sistema di valori, cui il massimo o minimo si riferisce), ma che inoltre sia soddisfatta una condizione supplementare concernente
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sia identicamente eguale a un differenziale esatto senza che tale sia il lavoro elementare per uno spostamento del tutto arbitrario
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relativo all’istante t, il quale, a meno di infinitesimi di ordine superiore, è dato dal differenziale d P del punto (I, n. 66) ed è un vettore
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che si sarebbe potuta ottener direttamente per integrazione della equazione differenziale vettoriale
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alla somma degli accennati ordini massimi. Così ad es. per un sistema differenziale della forma integrale generale dipende da 5 costanti arbitrarie.
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esteso ad un processo in cui il corpo viene riscaldato in modo reversibile dalla temperatura o alla temperatura T; dQ è il differenziale della
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Accademia della crusca
