dove a e b sono due costanti; l'espressione di C(v) è poi data dalla (119), che si può scrivere, usando la (120),
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I moduli delle costanti C e D si determinano con le condizioni di normalizzazione, che danno:
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e poichè la u deve essere continua, insieme alla sua derivata prima, per x = O, le quattro costanti dovranno esser legate dalle relazioni
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con costanti e legate da
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dove le sono altre f costanti arbitrarie.
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Il movimento del sistema ad f gradi di libertà dipende,come è noto, da costanti, definibili dalle condizioni iniziali: ora Sommerfeld impose una
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esteso ad un intero periodo della coordinata stessa: poichè la dipende solo dalla (per ipotesi) e dalle f costanti questo integrale sarà una funzione
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tante condizioni quanti sono i gradi di libertà, e si introducono altrettanti numeri quantici i quali possono sostituire le f costanti : così in luogo
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dove A e , sono due costanti arbitrarie: il momento coniugato alla x è
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(e contiene, come si vede, una sola delle due costanti di integrazione). Calcoliamo ora l'integrale di fase
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sola e riguardando come costanti : avremo allora
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coefficienti (costanti) arbitrari
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Esempi. Due fattori numerici (costanti o no) sono sempre operatori permutabili, perchè . Così pure sono permutabili — di regola — gli o. l. , il cui
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dove le sono coefficienti costanti che nel loro insieme definiscono l'effetto della perturbazione su . Sostituendo questa espressione nella (170) e
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Dall'istante in poi i coefficienti tornano a diventare costanti, ma anzichè i valori (229) hanno i valori ottenuti dalle formule precedenti
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dove le k sono costanti, e, per l'hermiticità, deve essere . Siffatti operatori, applicati alla (238), sostituiscono le funzioni con due loro
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Queste quattro equazioni lineari omogenee nelle quattro costanti , hanno soluzione non nulla solo se
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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Le costanti e restano arbitrarie, e le prenderemo uguali rispettivamente a 1 e a , cosicchè sarà:
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con costanti. Poichè alla corrisponde in prima approssimazione l'autovalore e a l'autovalore Ea, esse potranno scriversi sotto la forma:
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Si noti che non sono costanti come cs e , ma variano periodicamente e lentamente: la loro frequenza è infatti piccola, rispetto alla frequenza del
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Per una discussione critica dei valori numerici di queste e di altre costanti fisiche, vedasi R. T. BIRGE, Phys. Rev. Suppl. (Rev. of Mod. Phys.) 1
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soddisfa, comunque si scelgano le costanti r e Θ0, alla (40'), la quale è un’equazione differenziale lineare, a coefficienti costanti, omogenea del 2
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generale di una tale equazione dipende da due costanti arbitrarie. Concludiamo quindi che la (381) fornisce l’integrale generale della (40') ed r e Θ0
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Questa funzione di t soddisfa alla equazione differenziale (48), comunque si fissino le costanti r, Θ0; e poiché la (48) è del 2° ordine, si conclude
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Otteniamo così la equazione lineare a coefficienti costanti
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dove c l, c 2 son le costanti arbitrarie.
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41. Moti definiti da un’equazione differenziale lineare omogenea del 2° ordine a coefficienti costanti. - Movendo dall’osservazione del num. prec
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Nel caso di un’equazione a coefficienti costanti, quale la (49), cercando le soluzioni della forma e zt dove N denota una costante, si trova, che
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dove r, Θ, denotano due costanti reali arbitrarie. Con ciò integrale generale assume la forma
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8. Dimostrare che, se in un moto piano sono costanti le componenti tangenziale e normale dell’accelerazione, la traiettoria è una spirale logaritmica
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che si ottiene esprimendo che il vettore P - O ha rispetto agli assi mobili le componenti costanti x, y e x (Cap. I, n. 18).
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, costanti i tre vettori fondamentali i, j, k. Inversamente, se durante un moto rigido i, j, k sono costanti, tale risulta in virtù della (5), per ogni punto
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con V + V' costanti al pari di τ certamente non nullo. Poiché è ortogonale ad ω, esiste un ben determinato vettore d tale che sia
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il che porge per x e y i valori costanti
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nel cui integrale generale compaiono le ulteriori quattro costanti arbitrarie.
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il cui integrale generale conterrà due nuove costanti arbitrarie.
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Sempre nel caso di forze costanti, dalle identità evidenti
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dei lavori di codeste forze, considerate come costanti, per i corrispondenti spostamenti ΔP. Indicata con v la velocità di P nel primo estremo del ΔP,
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talché, confrontando due forze costanti F1, F2 per lo stesso cammini s del punto mobile, avremo
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dove le c designano costanti [definite dalle (23) in funzione dei giratori principali].
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dove φ e C designano due costanti arbitrarie, dopo di che, moltiplicando la prima di queste equazioni per la seconda per e sottraendo membro a membro
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Per la determinazione delle quattro costanti arbitrarie, valgono gli stessi criteri indicati ai nn. 21, 22, adattati, beninteso, al caso di un
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essendo A, B, α (nonché ζ) costanti e valendo per i segni la discriminazione sopra indicata. Nel caso particolare in cui Φ sia puramente assiale, A
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lungo una verga circolare sottoposta a sollecitazione uniforme (F t ed F n costanti). Si rilevi il significato statico delle costanti introdotte dall
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Ora è facile assegnare per le F i delle espressioni che, dipendendo da costanti arbitrarie, rendono soddisfatte, per qualsiasi scelta di codeste
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delle (20) una identità a coefficienti costanti
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dove compaiono tre costanti arbitrarie di integrazione.
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costanti arbitrarie, che, beninteso, non hanno se non eccezionalmente carattere di costanti additivo È bene ricordare che per un sistema di equazioni
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risolubile rispetto alle derivate di ordine massimo, esiste, in generale, un sistema integrale dipendente da un numero di costanti arbitrarie uguale
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Accademia della crusca
