Come centro del pacchetto si definisce il baricentro di |f|2, cioè il punto le cui coordinate x, y, z sono date da
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conformemente alle (94'). Similmente si potrebbe ragionare riguardo alla coordinata z ed al rispettivo impulso (disponendo altrimenti la camera
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dove C è una qualsiasi costante (rispetto ad x, y , z). Abbiamo così trovato la distribuzione spaziale dell'indice di rifrazione (che esso fosse
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Riprendiamo l'equazione (131') cui soddisfa la u (x, y, z) e scriviamola esplicitando il e ponendovi U = 0.
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si vede subito che, affinchè sia per e per x, (qualunque siano y, z, t), deve essere , con intero; e similmente per e : quindi
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Risulta poi evidente che la osservabile F così definita è compatibile con ciascuna delle osservabili date X, Y, Z...
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Poichè la U non contiene , l'operatore si spezza nella somma di uno , contenente solo , l'altro, , che contiene solo x, y, z:
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(dove indica una somma fatta cambiando x successivamente in y e z). Ora, tenendo presente il significato degli operatori , si vede che
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Se ora supponiamo il campo magnetico diretto secondo l'asse z, e risolviamo il sistema (249) (determinando la costante di normalizzazione in modo che
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z non è Mz, ma Nz e che il termine Sz rappresenta un momento d'impulso intrinseco dell'elettrone, la cui proiezione sull'asse z è sempre .
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in prima approssimazione), consideriamo il caso in cui la forza che agisce sull'elettrone ha momento nullo rispetto all'asse z, come avviene p. es
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all'asse z, le due con indice pari allo spin antiparallelo all'asse z. Nell'approssimazione non relativistica, come si è visto, e si possono trascurare
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in cui lo spin è parallelo all'asse z, la II invece al caso in cui lo spin è antiparallelo all'asse z: la soluzione più generale, che si ottiene
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Metteremo ora le equazioni diDirac in un'altra forma che, trattando simmetricamente la variabile t e le x, y, z, si presta sopratutto per
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La fig. 7 rappresenta le prime tre orbite quantiche: la più interna ha (nel caso dell'idrogeno, Z=1) il raggio
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dove la funzione sferica è stata indicata (l) Tralasciamo, per semplicità di notazione, di scrivere gli indici della finzione sferica Z: si noti che
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Per interpretare i due tipi di soluzione così trovati, ricordiamo (v. § 53) che il momento angolare totale rispetto all'asse z corrisponde
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Dai n. prec. risulta pei vettori, rispetto ad una terna di assi, una rappresentazione espressiva. Dato un vettore v di componenti X, Y, Z
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Componendo i due moti di P 1 e P z, avremo pel moto composto le equazioni
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costante rispetto all’asse z, ossia rispetto alle singole generatrici del cilindro di rotazione (61), che il punto P mano mano interseca nel suo cammino. Di
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e mentre il versore fondamentale k (diretto secondo l’asse positivo z = ζ) è costante e di componenti
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(relativa) di v rispetto alla terna mobile Oxyz, introduciamo come ausiliare una terza terna Ox 1 y 1 z avente l’origine comune colla terna mobile e
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Di qui si rileva che quando u x, u v, u z sono reali, λ e μ risultano complessi e, più precisamente, è il coniugato di λ.
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19. Per avere un primo esempio semplicissimo di sistema soggetto ad un vincolo unilaterale (di posizione), consideriamo due punti P l (x 1, y 1, z 1
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differenziale esatto) implica condizioni restrittive per le tre funzioni X, Y, Z di x, y, z: in altri termini una forza posizionale F non è in generale
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Per ogni punto x 0, y 0, z 0 del campo passa una superficie equipotenziale ed una sola, cioè, quella di equazione
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Integrando, si ottiene come potenziale, a meno della costante additiva arbitraria, la funzione della sola z
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dove, per quanto si è detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e le loro derivate, come funzioni della sola variabile t.
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dove la U (x, y, z)rappresenta il potenziale (Cap. VII, n. 26), il lavoro elementare è, in questo caso, dato da
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eguali a quelli di v), qui, con riferimento alla terna di assi prefissata, basterà dare le coordinate x', y', z' e x", y", z" dell’origine A e dell
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e proiettata sugli assi dà, per le coordinate x 0, y 0, z 0 di G, le espressioni
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Designando quindi con x i, y i, z i le coordinate di un punto generico P i del sistema S, quelle della sua proiezione Q i sulla retta r (intersezione
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Prendiamo per asse delle z l’asse r0 parallelo ad r, passante per il baricentro G. La retta r avrà per equazioni:
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dz, sarà (n. 33) , dove μ rappresenta la densità; se z 1 e z 2 sono le altezze dei piani che limitano il solido, il momento d’inerzia Ί avrà per
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La R non è altro che la coordinate y = f(z) della curva meridiana, sicché risulta
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La U, considerata come funzione delle coordinate x, y, z del punto P, è manifestamente finita e continua per tutti i valori degli argomenti, che non
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È desiderabile metterle in piena evidenza, in quanto, per passare alle componenti dell’attrazione, bisogna precisamente derivare rapporto a x, y, z.
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con formule analoghe per le derivate rapporto ad y e a z, come appunto volevamo dimostrare.
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in cui r designa il raggio del disco, v la densità (superficiale) e z la distanza dal punto potenziato (Cfr. n. 27).
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dove le somme vanno estese a tutti e soli i punti x, y, z di S, cui sono effettivamente applicate forze esterne (attive o vincolari).
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stesso sarebbe stato idealmente in contatto col piano z = 0, si troveranno, anche ad equilibrio stabilito, in un medesimo piano. Questo piano sarà del
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70. Sia v un vettore variabile, funzione continua di un parametro t in un generico intervallo (t o, t 1) e siano X, Y, Z le relative componenti.
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Quanto ad s, non è un parametro arbitrario, bensì l’arco di funicolare, cosicché deve essere legato alle x, y, z dall’equazione differenziale
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2.° che l’equazione in z ammette una sola radice positiva, compresa fra 1 e 2, il cui valore approssimato è 1, 2;
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In un generico spostamento virtuale del sistema siano dx i, d y i, d z i le componenti dello spostamento d P i subito da P i.
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cioè si riducono alle componenti X i, Y i, Z i delle forze attive F i secondo gli assi cartesiani.
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si conclude, identificando i coefficienti dei differenziali (arbitrari eindipendenti) d x i, d y i, d z i, che essa è equivalente alle 3N identità
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Notiamo infine che se v 1 e v 2 sono due vettori (entrambi non nulli) di componenti X 1, Y 1, Z 1, e X 2, Y 2, Z 2 rispettivamente e si designa con
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la moltiplicazione vettoriale del versore fondamentale k, per v equivale alla moltiplicazione di z per i.
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come si rileva dalle (12), imponendo che per t = t0 debba essere x = x 0, y = y 0, z = zo.
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Accademia della crusca
