che esprime la completezza del sistema di autofunzioni yn (difatti, se si considerasse un sistema qualunque di funzioni ortogonali, sia pure infinito
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La funzione Δy/Δω tende a O, come si vede, per (il che si può interpretare dicendo che le infinite funzioni sinusoidali, che in essa sono sovrapposte
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costante (perchè x ed ydevono poter variare indipendentemente): si hanno così due equazioni a derivate ordinarie per le due funzioni X ed Y. Così il
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(cioè, che il prodotto delle indeterminazioni sia il minimo possibile). Come si è visto al § 13, ciò richiede che le funzioni e siano della forma (70
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Ognuna di queste funzioni è della stessa forma dalla u trovata nel problema unidimensionale (§ 35, form. 149): come si è visto in quel caso, possiamo
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espressione di C, si riconosce nella (223') l'equazione differenziale delle funzioni sferiche di superficie di ordine l.
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fatto che essi sono legati ad una classe di funzioni studiate da tempo e dotate di notevoli proprietà: i polinomi di Laguerre.
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I polinomi generalizzati corrispondenti ad un dato indice superiore j ed a diversi K, se moltiplicati per danno luogo a funzioni ortogonali
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Tenendo poi presente che ognuna delle funzioni , si scinde nel prodotto di tre fattori , si vede che ognuno degli integrali tripli (287) si scinde
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dove ,... sono funzioni di x che si determinano formalmente sostituendo la Y nella (294) in luogo di y ed uguagliando nei due membri i coefficienti
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più limitata di funzioni, come si dirà nel § seguente.
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Questa definizione di ortogonalità tra funzioni è già stata introdotta al § 5, p. II: ora si vede la ragione della denominazione. (Si noti che la
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e si interpreta così: il coefficiente dello sviluppo della funzione f mediante le funzioni ortogonali , è la proiezione del vettore f sul versore
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c) Il simbolo è un operatore che muta ogni funzione derivabile f(x) nella sua derivata. Similmente (per le funzioni di più variabili) sono operatori
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Definite le potenze di un o. l. , si possono definire altri o. l. detti funzioni di esso nel modo seguente. Sia F(a) il simbolo di una funzione
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rispetto a un certo sistema di funzioni ortogonali) come elementi di una matrice di una sola colonna (e di infinite righe), cioè se si scrive
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Allora non solo gli operatori, ma anche le funzioni sono rappresentate da matrici, e si verifica subito che per applicare a una funzione f un
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grandezza ma non di direzione? Ciò significa ricercare se esistono funzioni f tali che
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Dimostriamo dapprima che la condizione è necessaria. Supponiamo perciò che esista un sistema completo di funzioni ortogonali ... che siano ad un
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, dette le autofunzioni di nello spazio delle funzioni di x, si possono considerare come autofunzioni di nello spazio delle funzioni di x e y tutte le
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Questa equazione non è altro che la (223') del § 46, p. II, cioè l'equazione differenziale delle funzioni sferiche ( corrisponde a ), e i suoi
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sviluppiamo la in serie mediante le funzioni ortogonali (che, tutte insieme, formano un sistema completo) avremo
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dove i coefficienti in generale saranno funzioni di t. Sostituendo questo sviluppo nella (220') (e indicando, come faremo sempre, col punto la
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dove le k sono costanti, e, per l'hermiticità, deve essere . Siffatti operatori, applicati alla (238), sostituiscono le funzioni con due loro
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introdurre, in luogo delle quattro , due coppie di funzioni , legate ad esse dalle seguenti relazioni
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(dove le a sono costanti, e F+, G+ sono due funzioni di r, per ora indeterminate) e si sostituiscono nelle (334), basta poi imporre alle costanti a
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perchè le funzioni sferiche si eliminino dalle equazioni, e queste si riducano a due sole (poichè la prima e la seconda diventano equivalenti, e così
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Le funzioni (347) risultano certamente nulle all'infinito se le serie si riducono a polinomi: detto n' il grado di questi, dovrà essere a tal uopo
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dove i coefficienti A, B, C sono funzioni analitiche della x, che supporremo reali per x reale. Poichè A è da supporsi non identicamente nulla, si
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il quale, sotto condizioni assai larghe per le funzioni di sette argomenti a x, a y, a z, ammette infinite soluzioni, dipendenti nel loro insieme da
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Come già per le equazioni del moto di un punto, ammetteremo che le funzioni α, β, γ, αi, βi, γi, siano tutte univalenti, finite e derivabili (almeno
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qualsiasi il vettore velocità τ(t) in più vettori (pur essi funzioni del tempo) e assumendo questi vettori come velocità di altrettanti moti traslatori.
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e di più supponiamo assegnato il moto di trascinamento mediante le funzioni vettoriali O(t), i(t), k(t), dove i , j , k, designano al solito i
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. prec., salva l’essenziale circostanza or ora accennata che qui le x, y, z, vanno interpretate come funzioni del tempo, date dalle (2).
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Proiettando sugli assi mobili e denotando al solito le componenti di ω con p, q, r (funzioni note del tempo, che qui supporremo univalenti, continue
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un problema a due sole funzioni incognite.
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47. Le funzioni ρ(ζ), ρ'(ζ') sono legate, in virtù delle (15) e (16'), da una relazione differenziale che merita di essere segnalata, perché, può
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dove a secondo membro compaiono certe 3N funzioni degli argomenti q l, q 2,... , q n ed, eventualmente, t, che noi supporremo univalenti, finite
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dove le a h, b siano funzioni delle coordinate q h ed, eventualmente di t, comunque prefissale, cioè tali che la (8) non sia deducibile per
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In ogni caso noi supporremo che le componenti (10) della forza siano, rispetto ai loro sette argomenti, funzioni uniformi, finite, continue e
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equazioni differenziali nelle sole funzioni incognite x(t), y(t)
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dove, per quanto si è detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e le loro derivate, come funzioni della sola variabile t.
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Una forza, le cui componenti X, Y, Z siano ordinatamente funzioni della sola x, della sola y, e della sola z, è conservativa. Assegnarne il
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funzioni sferiche (di prima specie).
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, γ) = sono polinomi di grado n in γ, detti funzioni sferiche (di prima specie). . Essendo, per la (25)
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funzioni, che si mantengono finite anche quando s si faccia convergere a zero).
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funzioni conosciute di x, y, z le incognite del problema, se pel momento si prescinde dalle condizioni ai limiti, sono le quattro funzioni x(s), y(s), z(s
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dove al secondo membro compaiono certe tre funzioni del tempo, definite nell’intervallo da t 0 a t 1. In accordo con quei caratteri di determinatezza
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(e tanto meno in termini finiti di funzioni elementari), bensì soltanto per sviluppi in serie. Ad ogni modo, sotto condizioni assai late per le
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Siccome d'altra parte le due funzioni ω1 e ω2 crescono rapidissimamente al crescere dei loro argomenti, si riconosce che la probabilità di
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Accademia della crusca
