da cui, eliminando t, si ottiene l'equazione della traiettoria del corpuscolo
fisica
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È opportuno spesso considerare un autovalore doppio (radice doppia dell'equazione
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Si dice che in un punto l'equazione (1') presenta una singolarità fuchsiana (o, come taluni dicono, non essenziale), se per uno almeno dei
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Ammetteremo poi che la soddisfi una equazione differenziale analoga alla (106), e cioè Questa equazione vale, a rigore, solo per onde «monocromatiche
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Eliminando En tra la (134) e la (135) si ottiene l'equazione
fisica
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Ciò premesso, nel nostro caso la (131') diviene l'equazione a derivate ordinarie
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che chiameremo equazione unidimensionale di Schrödinger (per gli stati stazionari).
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e quindi, trasportandola nell'equazione unidimensionale di Schrödinger (146), si ottiene
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e poi dividere tutta l'equazione per , con che essa diviene
fisica
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Cerchiamo di integrare questa equazione con una serie della forma
fisica
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Sostituendo la (185) nella (183') si trova per v l' equazione
fisica
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difatti l'equazione diviene allora (dividendola tutta per X Y Z)
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Sostituendo nell'equazione precedente e moltiplicandola tutta per si ottiene
fisica
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Gli autovalori e le autofunzioni di questa equazione si studiano con un metodo analogo a quello seguito nel § 39 per l'oscillatore: punti singolari
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Sostituendo la (233) nella (232) si trova per P l'equazione
fisica
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In questo caso l'equazione (258), per x tendente a , tende alla forma
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Polinomi generalizzati di Laguerre. - Se si deriva l'equazione (277), si ottiene
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Ora, si vede subito che questa equazione può essere soddisfatta prendendo
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si verifica subito che la , prodotto di tutte le , soddisfa l'equazione
fisica
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Questa equazione non è altro che la (223') del § 46, p. II, cioè l'equazione differenziale delle funzioni sferiche ( corrisponde a ), e i suoi
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I valori dell' osservabile sono dunque dati da , dove è un autovalore dell'equazione
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La si evolve poi col tempo obbedendo l'equazione differenziale di Schrödinger
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Scriviamo ora che la soddisfa l'equazione di Schrödinger (183), cioè che
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Questa equazione sarà soddisfatta se la matrice S è tale che sia
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e si verifica immediatamente che Q = P', sicchè l'equazione si può scrivere
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Ma dal Calcolo sappiamo che un’equazione differenziale del 2° ordine ammette precisamente ∞2 soluzioni o integrali particolari,ossia che l'integrale
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L’equazione del moto vibratorio smorzato sarà la prima delle (41) cioè la
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e quindi la (49') si trasformi nella equazione
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la z deve soddisfare all’equazione algebrica di 2° grado
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È questa l'equazione cartesiana del piano su cui P si trova costantemente.
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cosicché alla equazione precedente si potrà dar la forma
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22. Velocità di un moto rigido generale. - Derivando rispetto a t l'equazione geometrica
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si ottiene una equazione lineare in u z che, risolta, dà intanto
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Notiamo infine che, per quanto ridotto a determinare due soluzioni, od anche una sola della, equazione di Riccati (25'), il problema non è esaurito
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Suppongasi λ individuata mediante la sua equazione in coordinate polari
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Tenuto conto della equazione di λ e della (15) si ricava
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14. A precisare ulteriormente il significato e la portata della equazione fondamentale
fisica
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onde, si ricava subito per il potenziale U l’equazione
fisica
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[La latitudine λ del parallelo in questione verifica l'equazione ].
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Comunque, prendendo l’equazione del piano sotto la forma
fisica
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Eliminando T dalla seconda equazione per mezzo della prima, si ottiene
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Sussisterà inoltre, in condizioni statiche, la seconda delle (43), cioè l’equazione
fisica
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Perciò l'equazione simbolica della Statica fornisce la condizione di equilibrio
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Poiché questa equazione si può scrivere esplicitamente sotto la forma
fisica
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Ci basterà all’uopo combinare l’equazione fondamentale della dinamica
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L’equazione che definisce ψ assume così l’aspetto
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Se indichiamo con v questa costante, l’equazione oraria assume la forma
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10. Il diagramma, orario di un moto uniforme di equazione
fisica
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che si sarebbe potuta ottener direttamente per integrazione della equazione differenziale vettoriale
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Sottraendo membro a membro questa equazione dalla (14), otteniamo
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Accademia della crusca
