Un'altra si ottiene prendendo
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'): si ottiene
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Sovrapponendo infiniti treni d'onde siffatti di tutti i possibili numeri d'onde e di tutte le direzioni, si ottiene una f rappresentata da
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Eliminando En tra la (134) e la (135) si ottiene l'equazione
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e così si ottiene
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La distribuzione della probabilità dell'impulso si ottiene osservando che la (179') si può scrivere
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e quindi, trasportandola nell'equazione unidimensionale di Schrödinger (146), si ottiene
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d'onde di impulso p) si ottiene la seguente espressione per la :
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è detto al § 36 per il problema unidimensionale): basta riprendere le (83) del cap. I ed esprimervi k mediante p, e si ottiene:
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Sostituendo nell'equazione precedente e moltiplicandola tutta per si ottiene
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Polinomi generalizzati di Laguerre. - Se si deriva l'equazione (277), si ottiene
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Sostituendovi la u(K) ricavata da (275'), si ottiene l'equazione caratteristica del K-esimo polinomio di Laguerre:
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caso in cui questo è della forma , si riduce a , si ottiene per la u la seguente equazione differenziale:
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Come si vede, si ottengono per Y due espressioni (che indicheremo con ed ) a seconda che nel primo termine si prende : una di esse si ottiene
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Ora, sommando le due ultime condizioni di Sommerfeld (324), (325), e tenendo conto di questa identità, si ottiene
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e, ponendo per l'espressione (316), si ottiene:
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Sostituendo nella (318) questa espressione di , e la, (329) per p, si ottiene per l'espressione (dipendente solo da n)
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Integrando su tutto il semipiano meridiano, si ottiene il momento magnetico totale nella direzione dell'asse polare, che è
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Applicando ai due membri l'o. l. si ottiene
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Applicando alla prima l'o. l. , alla seconda , si ottiene rispettivamente
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simmetrizzata, e quindi attribuire un significato alla scrittura che si ottiene sostituendo x, y, z ecc. con altrettante osservabili (anche non
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chiamata hamiltoniana, diremo che l'equazione di Schrödinger si ottiene trasformando l'hamiltoniana in un operatore (che chiameremo bramiltoniano) mediante
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(1) Si verifica immediatamente che integrando questa P rispetto a tutte le variabili meno , per tutto il loro campo di variabilità, si ottiene
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immediatamente che integrando questa P rispetto a tutte le variabili meno , per tutto il loro campo di variabilità, si ottiene
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La dipendenza dal tempo di queste si ottiene confrontando la (88) con la (87), il che dà
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funzione di x, ossia supponendo fissati y e z) si ottiene
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Questa espressione si ottiene non dalla (105), ma dalla seguente (che algebricamente equivale a quella):
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Si tratta di verificare che, lasciando evolvere questa per un tempo dt, si ottiene una che è un'autofunzione dell'operatore corrispondente
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magnetico si ottiene dall' hamiltoniana senza campo sostituendo con l'operatore
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(176) e : si ottiene allora (indicando con i termini del secondo ordine di )
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e similmente per : inoltre si ricordi la seconda delle (182) e si tenga conto della (202); si ottiene allora
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Di qui possiamo anzitutto ricavare le a, moltiplicando l'equazione per e integrando: si ottiene allora (poichè è ortogonale a , alle , alle e a tutte
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Di qui si ricavano le c, moltiplicando i due membri per e integrando su tutto lo spazio delle q: si ottiene così
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derivazione rispetto a t) si ottiene, tenendo conto della (220),
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, non ha conseguenze fisiche (1) Essa corrisponde all'arbitrarietà della costante nell' argomento della rilevata a pag. 166. : assumendo si ottiene
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che si ottiene immediatamente sostituendo nella (242) le (241) e (241').
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Per ovvia estensione dei principi del § 22, l'operatore che corrisponde ad una qualsiasi grandezza relativa allo spin si ottiene scrivendo
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dove R è la costante di Rydberg ed a un'altra costante: tenendo fissa a e dando ad n tutti i valori interi da un certo valore in poi, si ottiene una
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Il potenziale vettore, da cui deriva il campo magnetico, si ottiene dalla densità di corrente j con la nota formula dell'elettromagnetismo
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sempre una soluzione della forma , con la u reale (v. pag. 173): si ottiene allora
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Sostituendo nelle (269) si ottiene
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Di qui, tenendo presente che, per matrici hermitiane come sono le , si ha , e che inoltre , si ottiene:
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(con che, si noti, τn risulta positivo), si ottiene
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Se per ogni eventuale autovalore multiplo il sistema fondamentale di autofunzioni viene scelto nel modo descritto, si ottiene un sistema completo di
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Ora, per l'osservazione fondamentale fatta al § 62, se nella funzione (371) si scambiano le variabili con le si ottiene ancora un'autofunzione del
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Come è noto, un grammo-molecola è un numero di grammi uguale al peso molecolare. Perciò, conoscendo il numero di Avogadro N, si ottiene il peso in g
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che il loro rapporto non sia una costante), l'integrale generale si ottiene facendone una combinazione lineare mediante due costanti arbitrarie c1
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Questa equazione vincola i valori, nei punti a e b, dei due integrali fondamentali y1,y2 , e naturalmente si ottiene un'equazione della stessa forma
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i corpi (condensati) l'entropia si annulla allo zero assoluto. L'entropia di un corpo alla temperatura T si ottiene dunque dall'integrale
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, un'indeterminazione per una costante additiva nell'entropia S. Ciò indica che, servendosi della meccanica statistica classica, si ottiene l'interpretazione del
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Accademia della crusca
