I buoni postali fruttiferi sono ammessi per il loro valore integrale in tutte le cauzioni da prestarsi nell'interesse dello Stato, delle Provincie
Essa rientra evidentemente nel tipo (14), ed in questo caso il procedimento del § 1 è praticamente effettuabile, perchè si conosce l'integrale
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Se si calcola, mediante la (36), l'integrale di ff* esteso a tutto l'intervallo (-l, l), si trova facilmente
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Se invece i due intervallini hanno in comune un tratto Δλ, l'integrale risulta uguale a
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tenendo conto del valore sopra riportato dell'integrale, si vede che la costante di normalizzazione αλ va allora presa in modo che sia
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(2) Estendendo il concetto di integrale nel senso di Stieltjes, si potrebbe scrivere questa formula, come tutte quelle analoghe, col solo integrale
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corrispondenza degli autovalori continui un integrale invece di una serie. Riferendoci, per maggior generalità, al caso che esistano tanto gli autovalori
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e se f(x) all'infinito diviene infinitesima di ordine sufficiente, si può invertire il segno di lim con quello di integrale e si ha
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espressione (32); la funzione fλ (che figura sotto il segno di integrale in modo analogo alle fn il segno di sommatoria) si determina analogamente nel
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Se poi la radiazione, osservata allo spettroscopio, dà uno spettro continuo anzichè uno spettro di righe, dovremo rappresentarla con un integrale
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dove l'integrale
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Questo integrale si può mettere in relazione con Δk nel modo seguente.
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Sostituendo nella (69) l'espressione così trovata per l'integrale rispetto a k, essa diviene
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Così abbiamo ottenuto l'integrale che figura nella (68), la quale perciò diviene
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spazio) e sviluppandola in integrale di Fourier, si troverebbe la relazione
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La ragione della distinzione sta nel comportamento delle soluzioni nell'intorno del punto : nel caso della singolarità fuchsiana qualunque integrale
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(dove l'integrale è esteso a tutto il campo S, e dS = dx dy), la quale si dimostra in modo perfettamente analogo a quello seguito nel caso di una
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Rileviamo fin d'ora che l'integrale di P esteso a tutto lo spazio esprime la probabilità totale che la particella venga trovata in un punto qualsiasi
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Il caso più generale è quello in cui vi sono autovalori discreti e autovalori continui, nel qual caso la sarà la somma di una serie e di un integrale
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serie sarà sostituita da un integrale, cioè
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(prendendo la normale diretta verso l'interno). Trasformando l'integrale di volume in uno di superficie si ha
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con k costante: essa è l'equazione studiata nel § 8 ed ha per integrale generale
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La prima delle (205) ha un integrale generale del tipo
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dove l'integrale è esteso a tutta, la, superficie sferica.
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il cui integrale generale è
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ed è quindi uguale a zero salvo il caso che l'esponente si annulli, cioè che sia , nel qual caso l'integrale è uguale ad 1. Similmente, il secondo
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(dove il limite inferiore dell'integrale è un valore qualunque, ma fissato, di x). Si verifica subito infatti, sostituendo nella (291), che la y deve
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Da ciascuna delle due Y cosi trovate si otterrà, mediante la (293), un integrale (approssimato) della (291), e quindi un integrale qualsiasi di
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, sotto un'altra forma, mediante un integrale definito: questa soluzione (che non presenta singolarità per ) si deve riattaccare con continuità da una
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indicando con l'integrale esteso ad un periodo. La condizione di quantizzazione è dunque, in questo caso, esattamente la (303') anzichè la (303).
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restrizione a queste costanti, obbligandole a soddisfare alle seguenti f condizioni: per ciascuna coordinata, si calcoli l'integrale (detto integrale di
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(1) Si può infatti dimostrare facilmente che l'integrale a primo membro non è mai negativo.
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e poichè l'ultimo integrale vale , risulta
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(e contiene, come si vede, una sola delle due costanti di integrazione). Calcoliamo ora l'integrale di fase
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dS = dx e l'integrale è semplice). Si noti che l'integrale (3) non è sempre convergente: siamo perciò condotti a considerare d'ora innanzi solo
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dove si è indicato, come faremo sempre, con un semplice segno di integrazione l'integrale, generalmente multiplo, esteso a tutto il campo S, e con dS
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Osservando che la prima delle differenze in parentesi è la derivata della seconda, e calcolando per parti il primo integrale si ha (se la f si
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Infatti, se l'intervallo non contiene la funzione è nulla in tutto l'intervallo, e quindi l'integrale è nullo: se poi l'intervallo (a, b) contiene
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e quindi la (97') si trasforma nell'integrale seguente (dove scriviamo y in luogo di ):
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Calcoliamo ora la stessa probabilità mediante il principio di sovrapposizione: se si decompone la in integrale di FOURIER (considerandola solo come
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Analogamente, in meccanica quantistica definiremo come integrale primo un'osservabile G tale che la sua derivata definita da (118) sia identicamente
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Si vede subito che l'energia è un integrale primo se ( e solo se ) , cioè se l' hamiltoniana non contiene esplicitamente il tempo: si dirà in tal
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Si riconosce poi che, se la forza è centrale, è un integrale primo (come in meccanica classica). Difatti l'operatore per una particella è (v. § 19)
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Come si vede, questa derivata non risulta identicamente nulla, il che significa che non è un integrale primo. Consideriamo ora l'osservabile , il cui
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(1) Il caso corrisponde al caso in cui l'integrale di scambio è nullo; v. nota al paragrafo precedente.
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Questo non è altro che l'integrale di scambio definito al § precedente, fatto però tenendo conto solo delle autofunzioni in x, y, z, senza i fattori
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seguono: esse hanno questo di caratteristico, che se y(x) è un integrale che le soddisfa, anche cy(x), dove entra una costante arbitraria, è un integrale
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Consideriamo p. es. il caso delle condizioni (α). Utilizzando l'espressione (2) dell'integrale generale, si tratta di ricercare due valori, non
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dove l'integrale si deve estendere a tutto lo spazio delle fasi.
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Di qui si riconosce la necessità, affinché l'integrale converga nel limite inferiore, che il calore specifico c si annulli per T = 0. La statistica
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Accademia della crusca
