che esprime la completezza del sistema di autofunzioni yn (difatti, se si considerasse un sistema qualunque di funzioni ortogonali, sia pure infinito
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(difatti, se si considerasse un sistema qualunque di funzioni ortogonali, sia pure infinito, ma non rappresentante la totalità delle autofunzioni di
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, ma in un intervallo infinito, da una o da entrambe le parti, e cioè (a, ) oppure (). Converrà studiare questo caso come limite del precedente, facendo
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, si elidono all'infinito per mutua interferenza).
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Generalizzando ciò che si è visto su questo esempio particolare, diremo che: l'equazione (14), per un intervallo infinito, può presentare uno spettro
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(1) Il limite si riferisce al caso che l'intervallo sia infinito da entrambe le parti: altrimenti si legga solo + [simbolo eliminato] , o [simbolo
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Possiamo ora estendere al caso di un intervallo infinito lo sviluppo di una funzione arbitraria in serie di autofunzioni: si avrà però in
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e se f(x) all'infinito diviene infinitesima di ordine sufficiente, si può invertire il segno di lim con quello di integrale e si ha
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serie di Fourier al caso in cui si vuol rappresentare una funzione f(x) (non periodica) data entro un intervallo infinito. Esso si può ottenere
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percorre uno spazio 2l: supponiamo di ricevere tale radiazione in uno spettroscopio (di infinito potere risolutivo) e domandiamoci l'aspetto dello spettro.
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Dunque, a rigore, la luce non è mai monocromatica se non viene emessa per un intervallo infinito di tempo.
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dove e rappresentano delle ordinarie serie di potenze di (ad esponenti interi non negativi. Se invece per il coefficiente P diventa infinito di
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coefficienti P, Q diventa infinito, ma tuttavia di ordine non superiore al 1° per P, e al 2° per Q, cosicchè l'equazione si possa scrivere
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forma (1')) diviene infinito in un punto dell'intervallo, generalmente ad un estremo (punti singolari). Perciò riassumeremo qui brevemente alcune
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Accenneremo infine al caso in cui la singolarità si trova all'infinito, caso che si riconduce, come è noto, al precedente, con la trasformazione : si
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solo entro questo spazio, con la condizione al contorno : v. p. es. § 38. , sia convergente (il che richiede che la all'infinito sia infinitesima di
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all'infinito sia a destra che a sinistra di questo, con legge qualunque (in questo caso rientra p. es. l'oscillatore armonico, v. § 39) e, per un
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' (quindi, rendendo infinito il campo) si giunge al caso limite considerato. Questo si può quindi considerare come un o potenziale di doppio strato».
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, realizzati mediante due gradini di potenziale di altezza (fig. 27) e poi pensando di far tendere all'infinito. Con ciò il k' della (177) tende a e
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e cercheremo di determinare v in modo che l'equazione sia esattamente soddisfatta, e che inoltre la u si conservi finita anche all'infinito, per il
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all'infinito due singolarità non fuchsiane. Un'idea del comportamento asintotico delle soluzioni in questi punti si può avere col seguente metodo
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il quale, se fosse positivo, diventerebbe infinito o per
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La densità della nuvola sfuma esponenzialmente verso l'infinito: essa è rappresentata dalla fig. 39a, in cui l'annerimento in ciascun punto è presso
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del polinomio . Come sfere nodali non si contano quella di raggio nullo nè quella di raggio infinito, cosicchè il numero delle sfere nodali è uguale al
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di x a periodo , e la u, anzichè tendere a zero all'infinito, deve essere anch'essa una funzione periodica di x a periodo . Supponiamo la E abbastanza
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monodroma entro un certo campo S (eventualmente infinito): lo spazio funzionale avrà in questo caso dimensioni, ed ogni suo asse sarà denominato mediante
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considerare ogni funzione f(x), definita e monodroma in un intervallo a, b (eventualmente infinito) come un vettore f in uno spazio a infinite dimensioni
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chiameremo «assi continui», essendo i valori di x una infinità continua), anche un altro sistema di assi (in numero infinito, ma discreti) definito dai
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di come multiplo d'ordine infinito. Difatti, sia un qualunque sistema completo di assi ortogonali nello spazio delle funzioni di : la di cui sopra si
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generalizzazione, al caso di infinite dimensioni, del problema di ridurre una quadrica ai suoi assi principali. Generalizzando al caso di n infinito ciò che
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discreta: ma, come si è detto nel § 10 p. II, quando il campo entro cui si deve integrare l'equazione differenziale è infinito possono presentarsi
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quale, eventualmente, può estendersi sino all'infinito, diventando un «quadrante», se .
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Il caso dell'operatore incompleto si può far rientrare nel precedente, considerando p infinito.
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Si osservi che per r tendente all'infinito queste equazioni tendono alla forma
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Le funzioni (347) risultano certamente nulle all'infinito se le serie si riducono a polinomi: detto n' il grado di questi, dovrà essere a tal uopo
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, positivo), la successione degli autovalori è limitata inferiormente mentre ha per limite superiore l'infinito. Ad ognuno di questi autovalori
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, poiché si trova un risultato infinito integrando la (23) rispetto a v da 0 a ∞.
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. Naturalmente, trattandosi di un sistema continuo, il numero totale dei gradi di libertà è infinito, si trova più precisamente che il numero delle
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Accademia della crusca
