due, e così via. In particolare: l'autofunzione yn ha n-1 nodi entro l'intervallo AB, senza contare i due agli estremi, o, in forma più espressiva: i
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L' intervallo in cui interessa l' integrazione sia (-l, l), e consideriamo separatamente i due tipi, (α) e (β), di condizioni agli estremi.
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(1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro esempio si vedrà al § 38.
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Condizioni (α): debba essere (1) Queste condizioni si presentano p. es. nel problema delle onde stazionarie in una corda fissa agli estremi. Un altro
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che agli estremi cadano due nodi, si devono dunque scartare le curve esponenziali e si deve inoltre far sì che l'intervallo 2lsia multiplo della
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Scelto così λ, le condizioni agli estremi sono entrambe verificate, e quindi c1 e c2 restano arbitrarie: la condizione di normalizzazione dà soltanto
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(14), con le condizioni agli estremi (α) o (β), e con la convenzione (spiegata al § 6) che gli eventuali autovalori doppi vengano contati per due. Si
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alle condizioni agli estremi (β). Difatti, prendendo tali autofunzioni nella forma (30) ed incorporando nei coefficienti (che denoteremo con an e bn
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tendere all'infinito uno od entrambi gli estremi: si riconosce allora che il problema presenta, nel caso dell'intervallo infinito, delle
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autodifferenziali Δλ: precisamente la condizione agli estremi è (1) Il limite si riferisce al caso che l'intervallo sia infinito da entrambe le parti
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, compresi gli estremi: in molti problemi di meccanica ondulatoria si presentano però equazioni in cui qualcuno dei coefficienti dell'equazione (scritta nella
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limitato di retta AB, rimbalzando elasticamente agli estremi. Ricerchiamo anche qui, innanzi tutto, le soluzioni semplici (cioè con E determinato).
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AB, imponendo la condizione che essa debba annullarsi agli estremi.
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. Poichè nel caso nostro x va da —1 a + 1, ci interessano solo le singolarità agli estremi di questo intervallo: col metodo dell'equazione caratteristica
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I valori estremi corrispondono evidentemente, nel modello intuitivo, a j antiparallelo, o parallelo, al campo. Naturalmente, se j è intero, anche i
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valori discreti compresi tra -j e +j (gli estremi inclusi) e spaziati di una unità, cioè:
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con le stesse condizioni agli estremi): esse definiranno un altro sistema di assi ortogonali, individuati dai versori. Rispetto a questi assi il
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annulla agli estremi)
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Si noti che una soluzione della forma qui considerata può esistere solo per m compreso tra ed l (estremi inclusi), altrimenti vi figurerebbero dei
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forma può esistere solo per m compresa fra — l ed a — 1, estremi inclusi: inoltre, essa manca se l = 0, poichè non esistono funzioni sferiche con
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α) la y si deve annullare ad entrambi gli estremi:
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β) la y deve assumere gli stessi valori ai due estremi e così la :
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. Generalmente i due punti a e b sono sull'asse reale e sono i due estremi dell'intervallo entro il quale interessa la funzione y(x): perciò si parla di
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condizione cui devono soddisfare questi coefficienti affinchè l'equazione ammetta, per le date condizioni agli estremi, una soluzione non nulla (e quindi
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estremi le (α) o anche le (β) si compone di una parte reale e di una parte immaginaria che separatamente soddisfano l'equazione e altresì le condizioni
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Tali valori di λ si chiamano gli autovalori dell'equazione differenziale data relativi all'intervallo (a, b)) e alle condizioni agli estremi (α) o (β
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della proposta equazione differenziale soddisfacenti le volute condizioni agli estremi(α) o (β). A tale scopo bisognerà che λ sia una radice
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Si può dimostrare (1)v. Bibl, n. 25. che un'equazione del tipo (14), con le condizioni agli estremi (α) ammette sempre infiniti autovalori tutti
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Poichè agli estremi si annullano tanto yn che , la prima parte è nulla: siccome poi si è supposto , resta
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(1) Si riconosce immediatamente che questo caso si può presentare con le condizioni agli estremi (β) ma non con le (α).
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La stessa proprietà vale evidentemente anche se le condizioni agli estremi sono le (β), purchè il coefficiente P assuma gli stessi valori in a e b.
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ortogonalità: si dirà dunque che: due autofunzioni della (14) soggette ad annullarsi agli estremi, ed appartenenti ad autovalori diversi, sono ortogonali.
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Consideriamo ora il caso (1) Si riconosce immediatamente che questo caso si può presentare con le condizioni agli estremi (β) ma non con le (α). che
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Accademia della crusca
