caratteristiche nuove, di cui la più notevole è l'apparizione di uno spettro continuo di autovalori: ciò significa che vi possono essere per λ (oltre
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L'estensione a queste «autofunzioni di spettro continuo» del teorema di ortogonalità e della normalizzazione richiede alcune avvertenze: è ovvio
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continuo di autovalori; le autofunzioni corrispondenti a questi autovalori in generale non tendono a zero all'infinito, ma tendono a zero i loro
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autofunzioni dello spettro continuo e quelle dello spettro discreto:
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La relazione di completezza (nel caso dello spettro continuo) è:
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dove fλ è una funzione della variabile continua λ, e l'integrazione rispetto a λ si intende fatta su tutto lo spettro continuo di autovalori. La
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Se poi la radiazione, osservata allo spettroscopio, dà uno spettro continuo anzichè uno spettro di righe, dovremo rappresentarla con un integrale
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La quantità |A2dk rappresenta l'intensità luminosa corrispondente all'intervallo dk dello spettro continuo: quindi la funzione |A(k)|2 rappresenta la
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, definito dal principio di indeterminazione. Si deve dunque abbandonare la concezione intuitiva del moto continuo lungo una certa traiettoria, per fissare
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In questo caso, rappresenta la «densità di probabilità» nello spettro continuo dell'energia, vale a dire, è la probabilità che l'energia sia compresa
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La (133) è stata scritta per il caso di autovalori discreti. Se invece gli autovalori della (131') costituiscono uno spettro continuo da ad , la
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che si deve escludere (v. § 28). Del resto, come si è visto, e quindi E è completamente arbitraria tra O e (spettro continuo di autovalori), ossia la
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La costante si determina coi criteri di normalizzazione per lo spettro continuo spiegati al § 10. Si osservi che la densità di probabilità della
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frequenze, ossia uno spettro continuo; è noto invece che i gas emettono spettri di righe, e di frequenza rigorosamente costante.
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temperatura è indipendente dalla natura e dalla forma del corpo. Analizzata allo spettroscopio, tale radiazione mostra uno spettro continuo, del quale
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come dotata di un effettivo movimento continuo, nel senso ordinario, si sarebbe indotti a ritenere che essa avesse attraversato una regione in cui la
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) (spettro continuo di autovalori). Il fatto che l'energia possa assumere qualunque valore positivo è in perfetta corrispondenza a ciò che si trova nella
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essere scelta entro un insieme discreto (o eventualmente continuo) di funzioni talchè, dette le autofunzioni di (le caratterizziamo esplicitamente
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autofunzioni sono sostituite dalla ( indice continuo), ogni vettore f nello spazio hilbertiano è rappresentato, rispetto agli assi invece che dalle
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degli autovalori formanti spettro continuo (oltre, eventualmente, ad autovalori discreti). Si è così condotti a considerare casi in cui gli indici, che
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Accenneremo infine al caso in cui l'equazione che definisce le y ha, oltre allo spettro continuo tra a e b, anche degli autovalori discreti. Allora
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Infatti, se questa è soddisfatta si ha (detti due tratti infinitesimi dello spettro continuo di autovalori)
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qualunque di certi numeri (1) Si considera qui, per semplicità di scrittura, il caso di valori discreti, ma le G' possono anche costituire un sistema continuo
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(1) Si considera qui, per semplicità di scrittura, il caso di valori discreti, ma le G' possono anche costituire un sistema continuo, come p. es
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Xr: se invece la X ha uno spettro continuo di valori X', con densità di probabilità P(X'), i valori G' della osservabile G formano uno spettro
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probabilità). Se l'operatore ha invece uno spettro continuo di autovalori, indicheremo uno generico degli autovalori continui con G', anzichè con Gr, e
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l'autovalore considerato appartiene allo spettro continuo, si richiede un procedimento alquanto diverso (v. p. es. bibl. n. 14, p. 157).
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, purchè si sostituiscano certe sommatorie con integrali, in modo abbastanza ovvio. Se invece l'autovalore considerato appartiene allo spettro continuo, si
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, concepisce l'effetto della perturbazione come un processo continuo per cui allo stato n-esimo puro si sovrappongono gradualmente «dosi» variabili degli altri
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conservazione dell'energia e della quantità di moto): inoltre vi è un passaggio continuo dalle leggi della micromeccanica a quelle della macromeccanica
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. Naturalmente, trattandosi di un sistema continuo, il numero totale dei gradi di libertà è infinito, si trova più precisamente che il numero delle
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Accademia della crusca
