Al tempo O, la distribuzione della f lungo l'asse delle x è data da
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Dunque, a rigore, la luce non è mai monocromatica se non viene emessa per un intervallo infinito di tempo.
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(chiamando le incertezze tollerate nella misura delle coordinate fatta al tempo ). Ora, prendendo abbastanza grande, si potrà fare in modo che questi
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dove u è una funzione (generalmente complessa) indipendente dal tempo, il cui modulo rappresenta l'ampiezza delle oscillazioni della , e ..
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tenendo conto di quest'ultima, la (127) si può scrivere nella forma seguente, che non contiene più derivate rispetto al tempo, e che è quella
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dipendono, naturalmente, dal tempo secondo la legge
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Ora, ciascuna delle rappresenta la distribuzione, per t = O, della in uno «stato semplice»: tale si evolve poi col tempo secondo la legge (128
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L'aumento di questo numero per unità di tempo è
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D'altra parte, questa quantità deve essere uguale al numero medio delle particelle che nell'unità di tempo entrano nel volume S attraverso la
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Quanto alla radiazione emessa, ci limiteremo ad enunciare il risultato essenziale della teoria di Dirac. Se il sistema al tempo 0 si trova in uno
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Ha particolare interesse il caso in cui le curve e sono tali che al tempo O sia
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Calcoliamo ora la curva di probabilità P(x) della posizione al tempo t.
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Dobbiamo anzitutto calcolare la al tempo t, mediante la (154), che, introducendovi l'espressione (166) e ponendo per brevità
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Calcolata così la , la ci dà la P(x) al tempo t: per scrivere in forma semplice il quadrato del modulo dell'espressione (171), conviene introdurre la
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Questa formula, confrontata con la (167) mostra che la curva di probabilità al tempo t è ancora una curva gaussiana, ma ha il massimo, invece che in
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Questa formula dimostra che la precisione diminuisce col tempo, cioè che il gruppo d'onde, nel propagarsi (dopo il tempo O) si allarga sempre più
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x e da t: interverranno dunque ora tre coordinate spaziali, oltre il tempo.
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di «stato». Si noti che lo stato così definito non si riferisce a un particolare istante, ma a tutto l'intervallo di tempo in cui il sistema resta
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(1) Questa denominazione, di cui si vedrà la ragione al § 24, non deve far credere che questi siano i soli stati che non variano col tempo. P. es
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esterne, definendo lo stato del sistema in un dato istante t come lo stato in cui esso resterebbe se al tempo t cessasse l'azione esterna. Si capisce che
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altra osservazione che si esegua sul sistema): esso è generalmente funzione del tempo, e la sua evoluzione nel tempo è regolata dall'equazione temporale
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Il vettore , considerato come funzione del tempo, caratterizza lo «stato» del sistema e verrà chiamato nel seguito «vettore di stato».
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La dipendenza dal tempo di queste si ottiene confrontando la (88) con la (87), il che dà
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(1) Si noti che, determinato il vettore nell'istante immediatamente successivo all'osservazione, l'ulteriore evoluzione di col tempo resta definita
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consideri l'osservabile , che chiameremo g, e si supponga di misurarla (al tempo t), trovando il valore g': dimostreremo che dopo tale osservazione il
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Si tratta di verificare che, lasciando evolvere questa per un tempo dt, si ottiene una che è un'autofunzione dell'operatore corrispondente
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Si vede subito che l'energia è un integrale primo se ( e solo se ) , cioè se l' hamiltoniana non contiene esplicitamente il tempo: si dirà in tal
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osservazioni al tempo 0 definiscono la posizione iniziale del vettore di stato , la (144) definisce il modo con cui esso si evolve nel tempo e quindi permette
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La si evolve poi col tempo obbedendo l'equazione differenziale di Schrödinger
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Supponiamo che al tempo 0 si sia eseguita un'osservazione massima: i suoi risultati rappresentano una descrizione completa del sistema all'istante
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che, insieme con il valore iniziale dato dalle (143), definisce la a un tempo t qualunque, e in particolare la . Si ponga poi l'equazione
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Si noti che l'osservazione massima da farsi al tempo 0 può scegliersi con ampia arbitrarietà, e questi diversi modi di definire lo stato del sistema
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Per meglio chiarire la cosa, si consideri l'esempio dell'oscillatore lineare (v. § 39, p. II), e si supponga di averne misurato, al tempo t = 0
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farsi al tempo 0 tale che il suo risultato permetta di calcolare — senza indeterminazione — il valore di G al tempo . Però, se si volesse poter
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Supporremo però in ogni caso che non contenga esplicitamente t, il che si esprime dicendo che la perturbazione è «indipendente dal tempo»: il caso
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Introduciamo ora una perturbazione, dipendente eventualmente anche dal tempo, per la quale l'hamiltoniana divenga
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Tutte queste formule sono rigorose qualunque sia l'entità della perturbazione. Ora supponiamo che lo stato perturbato al tempo t differisca poco
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con indipendente dal tempo, ovvero anche, ponendo
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L'ampiezza della probabilità di transizione dallo stato n allo stato , dopo un tempo di azione della perturbazione, ci è data dalla (230'), che
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(2) Tale ipotesi si può del resto giustificare con la considerazione che nessun punto dello spazio-tempo deve risultare privilegiato.
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ora, essendo un operatore simmetrico, se in un certo istante t è simmetrica (o antisimmetrica) tale risulta anche e quindi : dunque la al tempo t
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si ricava che l'incremento della nel tempo dt è
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Ora, il quadrato del modulo del coefficiente di , cioè , rappresenta la probabilità di trovare al tempo t il sistema nello stato , cioè la particella
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Supponiamo ora che, al tempo 0, si sia constatato che la particella 1 è nello stato e la 2 nello stato , vale a dire, che la è rappresentata
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Come lo stato di un sistema varia col tempo per effetto del movimento del sistema, così il punto che rappresenta lo stato nello spazio delle fasi si
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Le leggi che determinano come le variabili di stato variano col tempo (equazioni del movimento) si possono scrivere, nella forma canonica di Hamilton,
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Dalla forma delle equazioni di Hamilton risulta che, note le q r e le p r al tempo t = 0, resta determinato lo stato del sistema, e quindi i valori
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Invece che per mezzo delle coordinate generali e delle loro derivate rispetto al tempo, rappresenteremo lo stato del sistema per mezzo delle 2 f
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spazio delle fasi con la regola che P sia il punto rappresentativo dello stato in cui si trova, al tempo t, un sistema che, al tempo 0, era nello stato
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Inizialmente i punti siano ripartiti tra queste due ipersuperficie con una legge di densità arbitraria. Col variare del tempo i punti si sposteranno
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Accademia della crusca
