Così una coppia di soluzioni indipendenti, ortogonali e normalizzate si ha (per n ≠ O) prendendo nella (22)
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(si dimostra) sono indipendenti, e possono quindi essere presi come integrali fondamentali: il raggio di convergenza di tali serie si estende fino al
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, riferendoci, per comodità di scrittura, al caso di due variabili indipendenti, x ed y (l'estensione a tre o più variabili è immediata).
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formano (se la regione S ha estensione finita) una infinità numerabile. A ciascuno di essi corrispondono una o più autofunzioni indipendenti ui(x,y), (se
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sistemi indipendenti identici e sottoposti alle stesse condizioni iniziali, e di eseguire su ciascuno di essi un'osservazione della particella al tempo
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diverse soluzioni normalizzate (indipendenti),, dell'equazione di Schrödinger, corrispondenti in generale (1) In casi di degenerazione potranno le due
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in cui i coefficienti sono indipendenti dall'indice n: perciò questa equazione è soddisfatta da tutte le componenti e dunque anche da qualsiasi loro
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indipendenti dal tempo. Si noti poi che se, in particolare, la u è reale risulta , cioè la distribuzione media delle cariche è non solo stazionaria ma
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indipendenti rappresentate dai due termini della (149) (siamo dunque in uno dei casi di degenerazione studiati al § 6).
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indicando con b l'insieme delle quantità indipendenti da X. Sostituendo i valori che intervengono nei casi pratici, si trova che risulta almeno
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indipendenti per la u, corrispondenti ai valori che può assumere m (da a ).
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Consideriamo un sistema meccanico ad f gradi di libertà, con vincoli indipendenti dal tempo, e soggetto a forze conservative: lo riferiremo ad un
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(1) Ricorderemo dalla meccanica analitica il metodo di Jacobi per integrare le equazioni del moto, quando i vincoli sono indipendenti dal tempo e le
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moto, quando i vincoli sono indipendenti dal tempo e le forze conservative. Si esprime l'energia totale (somma della forza viva T e dell'energia
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risultino indipendenti dalla scelta del sistema di riferimento. Ciò dipende dal fatto che i livelli energetici hanno un significato fisico, mentre le
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indipendenti. In tutto quel che segue ci riferiremo, per maggiore generalità, a una funzione di p variabili, ma spesso indicheremo il loro complesso con
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Se poi An è un autovalore multiplo, a cui corrispondono le p autofunzioni indipendenti , un'autofunzione generica appartenente a questo autovalore ha
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dove L funge da «parametro»: come si è visto al § 2, p. II esistono infinite soluzioni indipendenti (autofunzioni) f = a ciascuna delle quali
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cui corrispondono le p autofunzioni indipendenti , un'autofunzione generica appartenente a questo autovalore ha la forma (55) con i coefficienti c
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Osservazione sugli operatori incompleti. - In un problema in cui intervengano più variabili indipendenti x, y..., un o. l. si dirà completo, se nella
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autofunzioni ortogonali e indipendenti che ad esso appartengono (i cui vettori formano una varietà piana V a p dimensioni): ma per una sola di queste
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delle coordinate e delle velocità quello di altrettante loro funzioni indipendenti, si ha una rappresentazione dello stato in tutto equivalente alla
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gettate a caso due palline a, b assai piccole e indipendenti tra loro: se si osserva una sola di esse, la probabilità di trovarla in A o in B è 1/2
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dell'altra. Se quest'influenza è nulla (come nel primo caso) si dice che le due palline sono «statisticamente indipendenti».
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Tornando al caso delle N particelle elementari, diremo che esse sono «statisticamente indipendenti» se la P ha la forma seguente (1) Si verifica
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È questo il solo caso in cui la P è determinata dalla conoscenza delle Pk. Si noti che le particelle possono non essere statisticamente indipendenti
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particelle, e in tal caso evidentemente è soddisfatta la (83), cioè le particelle sono statisticamente indipendenti. E se ognuna delle particelle è in
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indipendenti, cioè che non esercitano forze tra loro, ma sono soggette solo a forze esterne. In tal caso evidentemente la U si spezza nella somma di N
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), anche qualsiasi combinazione lineare di soluzioni sifratte: queste soluzioni rappresentano casi in cui le particelle non sono statisticamente indipendenti
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Si riconosce facilmente che, se in un dato istante le particelle sono statisticamente indipendenti, esse lo sono anche in qualunque altro istante
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saranno in genere funzioni di t, mentre nel caso che G non contenga esplicitamente t gli autovalori sono costanti, e le autofunzioni indipendenti da t
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possono fissare arbitrariamente due delle quattro a, e ricavare le altre due: le (293) hanno quindi due soluzioni linearmente indipendenti, che
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che sono pure linearmente indipendenti tra loro e con le altre, e inoltre sono l'una simmetrica e l'altra antisimmetrica; o infine, potrà (2, 1) non
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dimostrare però che per ogni autovalore multiplo d'ordine p esiste un sistema di p autofunzioni (indipendenti e ortogonali) di cui una è simmetrica, una
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elettrone (, sta per il gruppo dei quattro numeri e per : essendo i vari elettroni dinamicamente indipendenti, l'equazione del sistema complessivo ammette
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In un sistema costituito di due particelle, ciascuna di queste si può considerare soggetta: a) a forze indipendenti dalla presenza della seconda
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Si osservi ora che, poichè trascuriamo le forze dovute agli spin, gli autovalori risultano indipendenti dai numeri quantici di spin , dipendendo solo
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degli atomi. Anzi, è stato possibile determinare il numero di Avogadro per una quindicina di vie indipendenti, e l'aver trovato risultati concordanti
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Una notissima proprietà fondamentale delle equazioni di cui ci occupiamo è che, trovati due integrali particolari , che siano indipendenti (cioè tali
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sostituire due loro combinazioni lineari qualunque, purchè indipendenti.
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per ognuna di esse altre infinite autofunzioni non indipendenti tra loro, e che quindi non interessa di considerare come soluzioni distinte. Per
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corrispondono una, o al più due, autofunzioni linearmente indipendenti (mai più di due, poichè qualsiasi altro integrale si può, come è noto, esprimere come
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Ad un dato autovalore possono corrispondere, come si è detto, una o due autofunzioni linearmente indipendenti. Se ve ne corrisponde una sola, ciò
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ad un autovalore corrispondano due autofunzioni linearmente indipendenti, nel qual caso l'autovalore si dirà doppio e si dirà, con locuzione divenuta
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medio di questo impulso e il numero (grandissimo) degli urti che hanno luogo nell'unità di tempo. Entrambi questi due fattori sono indipendenti dalle
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considerazioni al caso dei sistemi olonomi a vincoli indipendenti dal tempo (v. cinematica, n. 32), tanto più che a questa categoria appartiene la quasi totalità
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a) Si abbia un numero molto grande N di sistemi quasi-ergodici, tutti identici e del tutto indipendenti uno dall'altro. Lo stato di ciascuno di
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, le molecole non si possono considerare indipendenti le une dalle altre a causa del fatto che esse sono indistinguibili tra di loro.
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Riferiamoci a un sistema A, costituito da un grande numero N di sistemi a indipendenti, tutti uguali tra di loro. Classicamente il problema della
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totale siano indipendenti tra di loro (e cioè lo stato in cui si trova uno di essi non sia influenzato dallo stato in cui si trovano gli altri). Così
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Accademia della crusca
