Consideriamo un sistema meccanico ad f gradi di libertà, con vincoli indipendenti dal tempo, e soggetto a forze conservative: lo riferiremo ad un
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con coefficienti interi. Quando vi siano g relazioni di questo tipo, il sistema dicesi g volte degenere: se il moto di un sistema a f gradi di
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Il movimento del sistema ad f gradi di libertà dipende,come è noto, da costanti, definibili dalle condizioni iniziali: ora Sommerfeld impose una
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Nel caso di un sistema a più gradi di libertà, a variabili separabili, le condizioni di Sommerfeld si potrebbero ritrovare in modo analogo
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eguagliando l'integrale a , mentre nel metodo di Sommerfeld lo si eguaglia a nh come per i gradi di libertà rotatori: effettivamente in questi casi
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tante condizioni quanti sono i gradi di libertà, e si introducono altrettanti numeri quantici i quali possono sostituire le f costanti : così in luogo
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, che il nucleo sia fisso. Il sistema è dunque a tre gradi di libertà.
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questa funzione sono eguali alle frequenze corrispondenti ai singoli gradi di libertà:
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(1) Se il sistema è a più gradi di libertà, si dovrà intendere che K rappresenta una osservabile massima, ossia un gruppo completo di osservabili (v
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Fissiamo anzitutto un sistema di assi di riferimento nello spazio hilbertiano, scegliendo (1) Se il sistema è a più gradi di libertà, si dovrà
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sotto l'azione di una forza non newtoniana: risolvendolo e applicando poi le tre condizioni di Sommerfeld (essendo il sistema a tre gradi di libertà
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1 q 2, ..., q f detti coordinate generali; il numero f di questi parametri è il numero dei gradi di libertà del sistema. La conoscenza delle f
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In questo caso l'energia cinetica si spezza nella somma di f addendi, ciascuno dei quali rappresenta l'energia pertinente a uno degli f gradi di
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sistema meccanico, avente un numero enormemente grande di gradi di libertà, e conseguentemente uno spazio delle fasi di un numero elevatissimo di
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Il risultato precedente ci dice dunque che, se si portano in contatto diversi sistemi, aventi ciascuno un numero assai grande di gradi di libertà (in
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è facile convincersi che se, come abbiamo ammesso, entrambi i sistemi hanno un numero grandissimo di gradi di libertà, ω1 e ω2 sono funzioni
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si trovi alla temperatura T; questo sistema funziona da "bagno di temperatura" e dovremo ammettere che esso abbia un numero grandissimo di gradi di
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parziali 1 e 2 abbia un grandissimo numero di gradi di libertà. (Si pensi, per fissare le idee, a due corpi, contenenti ciascuno miriadi di molecole, e
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(l'espressione precedente, integrata rispetto a v da 0 a ∞, diverge; ciò che indica appunto che il numero totale dei gradi di libertà è ∞).
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cioè: il calore atomico di tutti gli elementi solidi è costante e eguale a 3 R (cioè circa 6 calorie-gradi). Questa non è altro che l'espressione
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Secondo il principio dell'equipartizione dell'energia si sarebbe indotti ad attribuire a ognuno di questi gradi di libertà, secondo la (21
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legati tra di loro da forze elastiche; il numero dei gradi è in questo caso 3 N, e quindi la (21) ci dà:
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specifici gli atomi si possono considerare come punti materiali, trascurando completamente i loro gradi di libertà interni: in genere negli atomi la
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noto al contrario che l'atomo è un edificio di notevole complessità, avente un gran numero di gradi di libertà interni, che non sono stati considerati
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, per il principio della equipartizione, a ½ f k T, essendo f il numero dei gradi di libertà del sistema. Il valore medio w dell'energia in un sistema
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. Naturalmente, trattandosi di un sistema continuo, il numero totale dei gradi di libertà è infinito, si trova più precisamente che il numero delle
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(piano) delle fasi si deve suddividere in celle di estensione (area) h. Se il sistema avesse invece f gradi di libertà, le celle dovrebbero prendersi
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Accademia della crusca
