delle formule per la rotazione degli assi coordinati: tali coefficienti sono, come è noto,
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possono poi ottenere infinite altre mediante le formule
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(dove [simbolo eliminato] è una costante rispetto ad x); ovvero, raccogliendo le due formule in una col porre per la prima ed per la seconda,
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Nel caso che la f(x, 0) sia una funzione pari (o dispari) si possono adoperare le formule (53'), (54'), (53"), (54"), che divengono:
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(64'). ed altre due formule analoghe: esso si sposta con una velocità uguale alla velocità di gruppo già definita nel caso unidimensionale
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e da altre due formule analoghe, ed inoltre le quantità definite, analogamente alla (63), da
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rimane la stessa. Perciò il principio di indeterminazione spesso si esprime con le formule
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nelle formule che ne derivano (p. es. nel secondo membro della (136)).
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arbitraria di modulo 1, per cui potrebbe essere moltiplicata , e quindi , non influisce sulle probabilità e quindi non ha importanza. nelle formule
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Si noti l'analogia tra le formule (213) e (215), che si possono considerare inverse l'una dell'altra, e nelle quali le funzioni e hanno parti
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È interessante farsi, mediante le formule precedenti, un'idea intuitiva del modo come è distribuita intorno al nucleo la funzione uu* cioè la «nuvola
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Infine, la considerazione dell'integrale rispetto ad r (che è lo stesso in tutte e tre le formule) non fornisce nessuna regola di selezione, poichè
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Considerando che generalmente i risultati della meccanica ondulatoria tendono a quelli della meccanica ordinaria, se nelle formule si trascurano
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delle singole potenze di . Si trovano subito così per i primi termini le seguenti formule ricorrenti:
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(dove R e sono due funzioni di cui qui non interessa l'espressione: basta ritenere che sono reali e sono normalizzate secondo le formule (244) e (252
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, secondo la meccanica relativista, (dove m è la «massa di quiete» dell'elettrone) (1) Se si usassero le formule classiche per la forza viva e la quantità di
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meccanica quantistica, come si vedrà, modifica sensibilmente le formule (348).
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(1) Se si usassero le formule classiche per la forza viva e la quantità di moto, si arriverebbe a risultati praticamente non distinguibili da quelli
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Se poi si vogliono estendere queste considerazioni anche al caso che siano numeri complessi, è opportuno sostituire le formule precedenti con le
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Restano da estendere le formule relative alla lunghezza, e al prodotto scalare, per il che occorre restringere le nostre considerazioni a una classe
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Le formule divengono quindi formalmente un po' più complicate, ma non si introducono difficoltà nuove. Perciò nel seguito continueremo a scrivere le
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dove le fn sono le componenti di f, e la somma si intende estesa da 1 all' (come si sottintenderà anche nelle formule successive). Applicando
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Alle formule del § 5 si può dare un'interpretazione espressiva se si conviene di considerare le componenti fn (che caratterizzano una funzione f
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Per ottenere le formule inverse si potrebbero risolvere queste rispetto alle ma è più conveniente operare in modo simmetrico, cioè considerare le
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(componente di f sull'asse ) e analogamente tutte le formule della teoria dei vettori dello spazio hilbertiano verranno modificate nel senso di
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Neumann (v. bibl. n. 13): tale uso però contribuisce a rendere più semplici ed espressive le formule, e può essere considerato come l'indicazione
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formule che coincidono con quelle del cap. I, p. II, che definiscono il centro d'un pacchetto d'onde e il suo vettore di propagazione medio.
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Valgono dunque le seguenti formule di permutazione per i momenti
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(1) Ricordiamo che il campo elettrico E e quello magnetico H si deducono dal potenziale scalare V e da quello vettoriale A con le note formule
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Da queste formule, mediante la (158), o la (158'), si ricavano le espressioni degli elementi non nulli della matrice , che risultano
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. Tralasciamo di scrivere queste formule che raramente trovano applicazione, essendo per lo più sufficienti la prima o la seconda approssimazione per
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(1) I livelli possono anche essere raggruppati, tutti o in parte, in multipletti o in livelli multipli: ciò non muta nulla alle formule seguenti
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Dall'istante in poi i coefficienti tornano a diventare costanti, ma anzichè i valori (229) hanno i valori ottenuti dalle formule precedenti
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Infine, in molti casi, pur non essendo possibile rappresentare i termini con delle formule semplici, si possono tuttavia scrivere le frequenze delle
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In tutte queste formule — come in quella di Balmer — la frequenza di una riga si presenta come differenza di due termini, di cui il primo resta
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Vogliamo ora mostrare come le formule di Dirac, ove si trascurino termini in , si riducano a quelle della teoria di Pauli. È opportuno a questo scopo
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Applicando gli operatori definiti al § 50 si trovano subito le formule:
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: allora le quattro equazioni precedenti si possono riassumere nelle formule:
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Di qui si vede intanto come le formule di Dirac contengano implicitamente, almeno in prima approssimazione, l'esistenza di un momento magnetico
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Queste formule, introducendo il vettore I di componenti
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Ma dalle formule di permutazione e dalla (284) si ricava
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nello spazio di Minkowsky, espressa dalle formule:
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tali e ). Gli operatori si trasformano come le componenti di un quadrivettore (come si riconosce subito dalle (299')) cioè secondo le formule
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Si può allora verificare facilmente, utilizzando le formule di passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari , che per le derivate di
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Con l'aiuto di queste formule si verifica senza difficoltà che, se si prendono le quattro della forma:
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degenerazione di scambio, si dovranno applicare le formule trovate al § 39, e quindi si dovrà anzitutto costruire la «matrice di perturbazione» i cui elementi
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le formule precedenti si scrivono:
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i coefficienti c contenuti in queste formule restando arbitrari, salvo le condizioni di normalizzazione. Tenendo conto della (392') e delle (396), e
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solo una lieve complicazione delle formule.
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D'altra parte l'energia totale delle N molecole - v. gas, formule (8), (8') - è:
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Accademia della crusca
