Affinchè questo sistema di equazioni lineari ed omogenee in c1, c2 ammetta soluzioni non nulle, deve aversi
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, compresi gli estremi: in molti problemi di meccanica ondulatoria si presentano però equazioni in cui qualcuno dei coefficienti dell'equazione (scritta nella
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Le equazioni che interessano la meccanica ondulatoria sono, nella maggior parte dei casi, equazioni a derivate parziali, lineari ed omogenee: a
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costante (perchè x ed ydevono poter variare indipendentemente): si hanno così due equazioni a derivate ordinarie per le due funzioni X ed Y. Così il
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Il vettore soddisfa le equazioni
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(che compendiano le equazioni di Maxwell e di Laplace per E ed H); da queste si ricava subito che ciascuna componente complessa di soddisfa
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l'unico vettore complesso ,definito da Si vede subito allora che l'espressione di W diviene . Il vettore soddisfa le equazioni (che compendiano le
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nota nella teoria delle equazioni differenziali,
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Eliminando v tra queste due equazioni si trova
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Queste costituiscono un sistema di infinite equazioni lineari ed omogenee, nelle infinite incognite
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Fissiamo k, e diamo ad m i successivi valori 1, 2, ...: avremo le equazioni
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L'aspetto paradossale di queste equazioni scompare quando si tenga presente che esse si riferiscono non alle grandezze fisiche e ma ai loro operatori
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e quindi le equazioni precedenti danno
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Valgono dunque, in media, le equazioni di HAMILTON. Per esempio, per un punto in coordinate cartesiane, si ha
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col tempo in modo da soddisfare le equazioni della dinamica.
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Difatti le equazioni di Hamilton che se ne ricavano sono
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un'osservazione massima) e i valori trovati: la che caratterizza lo stato del sistema è determinata, per t = 0, dalle equazioni
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Fissato un valore di i, dando a k i p valori 1, 2, ..., p, si ha da questa formula un sistema di p equazioni lineari ed omogenee nelle p incognite
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Queste due equazioni omogenee (il cui determinante è nullo in virtù di danno:
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equazioni nelle due funzioni (con k = 1, 2): p. es., se si indica con la parte dell'hamiltoniano (244) che non opera sullo spin, cioè se si pone , la (246) si
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può esplicitare nelle due equazioni algebriche
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spazio) per determinare la P in tutti gli istanti successivi, e quindi ammettere che le N funzioni soddisfino un sistema di n equazioni differenziali del
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(1) Analogamente, nella teoria elettromagnetica della luce, l'equazione delle onde (del 2° ordine) è conseguenza delle equazioni di Maxwell (del 1
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La più semplice ipotesi che si possa fare sulle equazioni cercate è che siano lineari e a coefficienti costanti (2) Tale ipotesi si può del resto
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Determineremo ora i coefficienti delle equazioni (258), ossia le matrici , imponendo la condizione che dalle dette equazioni del primo ordine
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equivale, quando si assumano per le a le espressioni (267), alle quattro equazioni seguenti (equazioni diDirac per l'elettrone non soggetto a forze):
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e, assumendo per le le espressioni (267), si traduce nelle quattro equazioni
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Tenendo conto dell'ultima di queste, si vede che nelle prime due delle equazioni (272) si elimina il termine della prima parentesi, mentre nelle
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: allora le quattro equazioni precedenti si possono riassumere nelle formule:
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il che equivale alle quattro equazioni:
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Come esempio di soluzione rigorosa delle equazioni di Dirac, studiamo il caso particolare di un elettrone non soggetto a forze, e avente un impulso p
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Queste quattro equazioni lineari omogenee nelle quattro costanti , hanno soluzione non nulla solo se
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Metteremo ora le equazioni diDirac in un'altra forma che, trattando simmetricamente la variabile t e le x, y, z, si presta sopratutto per
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Nelle equazioni di Dirac il campo elettromagnetico è rappresentato dai potenziali V, A. Ora, è ben noto che questi non sono fisicamente determinati
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equazioni diDirac(272) assumono la forma
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e le precedenti equazioni divengono
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esse si riducono alle due seguenti equazioni nelle funzioni F(r), G(r):
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perchè le funzioni sferiche si eliminino dalle equazioni, e queste si riducano a due sole (poichè la prima e la seconda diventano equivalenti, e così
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Si osservi che per r tendente all'infinito queste equazioni tendono alla forma
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Trattiamo dapprima il caso della soluzione (338) cioè di e cerchiamo gli autovalori (per il parametro ) e le autofunzioni delle equazioni (340
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e, annullando il determinante dei coefficienti di queste due equazioni lineari in , si trova per l'equazione
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Passando ora a considerare la soluzione (341), corrispondente a j = / — 1/2, non occorre rifare il calcolo, bastando ricordare che le equazioni (343
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dove c è una costante: se poi in questa relazione si scambiano le con le , e si moltiplicano membro a membro queste due equazioni, si trova , ossia
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dove i coefficienti sono ottenuti (v. § 39) mediante i quattro sistemi di equazioni lineari:
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Sostituendo nei sistemi (394) le (399) e le (400) si trova che, per i = l, 2, 3, le prime due equazioni sono identicamente soddisfatte e le altre due
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Hanno grande importanza, nella meccanica ondulatoria, le equazioni differenziali (a derivate ordinarie) lineari, omogenee, del secondo ordine, cioè
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Una notissima proprietà fondamentale delle equazioni di cui ci occupiamo è che, trovati due integrali particolari , che siano indipendenti (cioè tali
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È noto dall'algebra che questo sistema di equazioni omogenee ammette soluzioni non nulle solo se
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Le leggi che determinano come le variabili di stato variano col tempo (equazioni del movimento) si possono scrivere, nella forma canonica di Hamilton,
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Nel caso delle nuove statistiche si trovano invece equazioni di stato differenti, che nel caso limite di piccola degenerazione, si possono scrivere
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Accademia della crusca
