e se f(x) all'infinito diviene infinitesima di ordine sufficiente, si può invertire il segno di lim con quello di integrale e si ha
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Sostituendo nella (69) l'espressione così trovata per l'integrale rispetto a k, essa diviene
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Così abbiamo ottenuto l'integrale che figura nella (68), la quale perciò diviene
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Si vede subito allora che l'espressione di W diviene
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con K costante arbitraria. La (118) diviene allora,
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Tenendo conto della (125), la relazione (123') tra la velocità di fase V delle onde di De Broglie di frequenza v ed il potenziale U diviene
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Ciò premesso, nel nostro caso la (131') diviene l'equazione a derivate ordinarie
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diviene
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probabilità di oltrepassare il gradino (con velocità ridotta nel rapporto , poichè la lunghezza d'onda da diviene ).
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e poi dividere tutta l'equazione per , con che essa diviene
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Passiamo ora ad occuparci delle autofunzioni. Quando è dato dalla (190), la formula ricorrente (188) diviene
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una particella attraversi la barriera. Questa probabilità diviene anzi la certezza, se la larghezza della barriera contiene un numero intero di
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barriera (anzi, diviene trascurabile appena l è grande rispetto a ): però si vede dalla formula che non si annulla mai (finchè, beninteso ed l si mantengano
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difatti l'equazione diviene allora (dividendola tutta per X Y Z)
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con che la (106) diviene, ponendo ,
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e di posizione totalmente indeterminata. Esprimendo nella (210) k e v mediante p, essa diviene
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la (229) diviene
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Per studiare poi la (228) conviene assumere come variabile cos , che indicheremo con x: allora l'equazione diviene (tenendo conto della (230)),
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Si osservi che con la (267) l'espressione (256) di diviene
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Occupiamoci anzitutto degli integrali rispetto a . Il primo di essi, sostituendovi le espressioni di e conformi alla (229') diviene
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l'espressione precedente diviene
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cosicchè l'effetto relativo è notevole per piccoli valori di λ, cioè per raggi «duri», mentre diviene trascurabile quando è grande rispetto a 0,048 Å.
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iniziale, e quindi la frequenza della riga dello spettro quantistico diviene approssimativamente uguale alla frequenza , della riga corrispondente nello
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ma, essendo la prima sommatoria si riduce al solo termine in cui r = k, cosicchè l'equazione diviene
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sostituire alle sommatorie rispetto a un indice degli integrali. P. es., la (10) diviene
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operatore rispetto ai nuovi assi, mediante la formula (44), che, esplicitata, diviene la seguente (che è analoga alla (43))
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così la (87) diviene
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In generale ci si limita a considerare integrali primi che non contengono esplicitamente t. Allora la (122) diviene
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quindi la (124) diviene
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Perciò l'equazione delle autofunzioni diviene, detto un autovalore generico
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Quindi nella (162) deve prendersi , e l'espressione degli autovalori dell'energia, diviene
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e l'equazione secolare da risolvere diviene
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Da questa relazione si traggono intanto gli autovalori perturbati, anche senza determinare le : difatti, per essa diviene
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dove gli elementi della matrice sono quantità piccole del primo ordine, che si tratta di determinare. La (213) diviene allora, ponendovi
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evitare nel caso particolare di un elettrone non soggetto a forze ( V = A = 0), nel qual caso l'equazione diviene
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la quale, introducendovi l'espressione di diviene
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le quali significano che dette matrici devono essere hermitiane. La formula diviene allora
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L'equazione fondamentale (259'), che, introducendovi per la (265), diviene
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(268) diviene
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L'equazione di Dirac diviene allora
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Così, in conclusione, la (277') diviene:
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Introduciamo ora per le la loro espressione approssimata (278'), che diviene nel caso attuale, utilizzando le (241) e (241'),
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Così l'equazione diviene
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sostituendo questa nella (327), e tenendo presente la (303') la formula che definisce diviene:
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, tranne che è uguale a . Sostituendo dunque la (357) nella (356), e tenendo conto delle (358), il primo membro diviene
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loro valori numerici tratti da altri fenomeni fisici, il coefficiente della (20) diviene numericamente uguale (entro i limiti degli errori sperimentali
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esprime in cm-1 (e da noi sarà indicata al solito con v^) la (23) diviene
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e quindi la (30) diviene
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diviene (come si sa dalla teoria della relatività)
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) diviene la già citata relazione (26) tra λe v, che possiamo quindi ritenere fondata su solide basi sperimentali (1) Indipendentemente da queste, De
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Accademia della crusca
