second’ordine, in tutto il campo, dicesi potenziale del campo o funzione delle forze Alcuni autori designano la funzione U esclusivamente con quest
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Alcuni autori designano la funzione U esclusivamente con quest’ultimo nome e chiamano potenziale la - U.
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e non zero, come accade ogniqualvolta esiste un potenziale.
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cioè le superficie, di cui ciascuna è il luogo dei punti aventi un dato potenziale.
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28. In un campo di forza conservativo di potenziale -U, diconsi superficie equipotenziali le ∞1 superficie
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e questo è un differenziale esatto. Integrando, si ha che il potenziale, a meno della solita costante additiva arbitraria, è dato da Fz, onde le
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iniziale, si ha per la (11); in quanto il potenziale U si mantiene costante sulla superficie equipotenziale,
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Integrando, si ottiene come potenziale, a meno della costante additiva arbitraria, la funzione della sola z
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onde, integrando questo differenziale esatto, si ottiene pel potenziale, a meno della costante additiva arbitraria, la funzione della sola ρ
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d) Diamo anche un esempio di potenziale non uniforme in tutto il campo di forza in cui sussiste la (11); dapprima in due dimensioni, considerando l
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dove la U (x, y, z)rappresenta il potenziale (Cap. VII, n. 26), il lavoro elementare è, in questo caso, dato da
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cosicché il potenziale in P può essere definito come il lavoro compiuto dalla forza, quando il suo punto di applicazione si trasporta dalla posizione
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Se profittando della costante additiva arbitraria facciamo in modo che il potenziale si annulli in un certo punto P, del campo e designamo con P (x
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ed è facile dimostrare che la F deriva appunto dal potenziale U. A tale scopo si osservi che, fissato un qualsiasi spostamento elementare dP che
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compiuto è uguale alla differenza di potenziale fra la posizione di partenza e quella di arrivo del punto di applicazione.
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talché si conclude che la F è veramente conservativa ed ammette il potenziale U.
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Questa conclusione diviene particolarmente espressiva nel caso delle forze conservatine. L’energia -L non è altro che il potenziale U cambiato di
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e potenziale. Il moto si presenta così come un fenomeno di trasformazione di energia cinetica in potenziale o viceversa; la quantità totale di
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energia potenziale.
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e lo stesso dicasi per un potenziale, nei casi in cui esiste, in quanto non è altro che un certo lavoro (n. 6).
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Questo val quanto dire che il potenziale U deve ammettere un massimo nella posizione M. Si vede subito che, reciprocamente, se U ha in M un effettivo
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§ 2. - Potenziale.
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delle attrazioni esercitate su questo punto, un potenziale e, di conseguenza, per la forza risultante, un potenziale dato dalla somma:
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onde, si ricava subito per il potenziale U l’equazione
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che è manifestamente il potenziale unitario, cioè relativo alla forza,che sarebbe risentita dall’unità di massa, collocata nella posizione P.
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numero finito di masse potenzianti) date dalle derivate del potenziale U, che ha l’espressione
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12. I teoremi precedenti si applicano direttamente al potenziale newtoniano.
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Considerando anzitutto il potenziale di una distribuzione di materia a tre dimensioni,
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15. In quanto si è dianzi esposto si ha quel che basta per la effettiva valutazione del potenziale in alcuni casi semplici, che son, del resto, fra i
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17. Ricordando (n. 14) che le componenti dell’attrazione newtoniana altro non sono che le derivate del potenziale U, dobbiamo inferirne, nel caso
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grande maggioranza dei casi) conviene caratterizzare direttamente il potenziale
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Dato il significato di r', il potenziale dell’attrazione della stessa sfera σ nel punto interno P'. Ad esso compete quindi il valore del n. 17 e
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È questo il potenziale newtoniano (rispetto al punto potenziato P) di una massa m, situata in O; donde il teorema: Una superficie sferica omogenea
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potenziale si conserva costante, entro tutta la cavità e il suo valore numerico si calcola subito sommando i potenziali elementari.
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È questo il valore costante spettante al potenziale della crosta nell’interno della cavità.
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Consideriamo infine, come punto potenziato, un punto interno alla crosta potenziante (R 2 ≤ ρ ≤ R 1). In tal caso il potenziale si può calcolare
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Ne viene, per la cercata espressione del potenziale nei punti interni alla crosta potenziante, l'espressione
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Portiamo questo valore di nell’espressione del potenziale
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Nei tre primi addendi abbiamo rispettivamente il potenziale puntiforme e le correzioni di primo e secondo ordine. Troviamone le espressioni esplicite
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31. Riassumendo, il potenziale U dell’attrazione di un corpo qualsiasi sopra un punto lontano P, a meno di termini di terz’ordine (nel rapporto
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32. Correzione dell’attrazione. - Note le correzioni del potenziale, si traggono per derivazione quelle dell’attrazione. Resta soltanto da togliere
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nell'espressione del potenziale. Essa è
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Nel caso attuale, la natura della questione suggerisce ovviamente i termini di confronto; essi sarebbero: per U* il valore esatto U del potenziale
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Al potenziale di un segmento omogeneo AB in un punto P (esterno al segmento) si può attribuire l’espressione
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unitarie conservative. Se U (x, y, z) è il potenziale della F, si ha, per qualsiasi spostamento elementare dP,
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Così, p. es., nel caso della catenaria omogenea (nn. 29-33) il peso unitario p, rispetto agli assi da noi adottati, deriva dal potenziale - py
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Possiamo perciò dire che anche le componenti lagrangiane derivano da un potenziale.
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Ad ogni modo tutte le volte che le componenti lagrangiane ammettono un potenziale, si desume dalle condizioni di equilibrio (12) e dalle identità (14
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La forza centripeta ha pertanto carattere di forza conservativa; il suo potenziale unitario (cioè riferito all’unità di massa) vale
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’intorno di una posizione di equilibrio il potenziale delle due forze: peso e forza centrifuga].
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Accademia della crusca
