Per esprimere a ρ in funzione di ρ, Θ e delle loro derivate,
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e derivarlo rispetto al tempo; onde si è condotti a considerare le derivate rispetto a t dei versori fondamentali mobili i, j, k. Esse sono fra loro
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È questa la prima delle preannunziate relazioni tra le derivate dei versori fondamentali mobili; ove si ponga
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’accelerazione relative v r ed a r dipendono dalla variabilità di P rispetto alla terna mobile e hanno per componenti rispetto ad essa le derivate prime e
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onde, applicando il teorema dei moti relativi (n. 2), si ottiene fra le due derivate di v la relazione
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Si rileva di qui che le due derivate coincidono sempre e solo quando si annulla ω Λ v, cioè quando v è parallelo all’asse di moto della terna mobile
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onde risulta che queste due derivate si annullano insieme; cioè se durante il moto di un sistema rigido l’asse di moto ha direzione fissa entro il
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secondo gli assi fissi son le derivate delle incognite coordinate α, β, γ di O, onde si ha, nelle consuete notazioni,
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derivate delle q di ordine superiore al primo; ma sinora non si conoscono sistemi concretamente realizzabili Delassus. Leçons sur la dynamique des
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12. Sostituendo nelle (10) alle π, χ le loro espressioni (11), si ottengono due equazioni lineari omogenee nelle derivate , delle coordinate
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A priori sono concepibili leggi di forza di natura ancor più generale, p. es. dipendenti dalla accelerazione, ed anche dalle successive derivate
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come quelli, la cui forza ha per componenti rispetto ad una terna fissa di assi (e quindi rispetto a tutte le altre) le tre derivate parziali di una
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dove, per quanto si è detto, le X, Y, Z si intendono espresse, mediante le (2) e le loro derivate, come funzioni della sola variabile t.
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; mentre diconsi derivate le unità delle aree e dei volumi, in quanto vengono definite per mezzo della unità delle lunghezze, e in base a determinate
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16. Grandezze primitive e grandezze derivate. - Nello studio della Meccanica siamo venuti mano mano introducendo varie specie di grandezze, scalari o
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18. Non sarà male osservare esplicitamente che, come già le aree e i volumi, così anche le velocità e le accelerazioni sono grandezze derivate solo
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altre misure risultano individuate. È ben noto che alle due unità derivate della Geometria si dà un nome particolare (metro quadrato e metro cubo), e
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masse, queste ultime, divenute oramai grandezze derivate, ammettono, in base alla relazione fondamentale della Dinamica, l’equazione delle dimensioni
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Ne viene, in quanto si considerino le masse come grandezze primitive e le forze come derivate a norma della relazione fondamentale F = m a, che le
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Se invece si adotta il sistema tecnico di unità, i coefficienti di riduzione della massa e delle altre grandezze dinamiche derivate son dati da
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Anzitutto si ha equilibrio, perché l'esistenza di un massimo implica come si sa dal Calcolo l'annullarsi delle derivate prime cioè delle componenti
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Perciò la funzione U , considerata come dipendente dalle coordinate del punto P, ha per derivate le componenti della forza d’attrazione che si
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) presentano le derivate della U, di qualsivoglia ordine; in particolare le derivate prime, ossia le componenti dell’attrazione; ciò che è del resto
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con analoghe formule per le variabili y e z. Sommando le tre derivate seconde e tenendo conto che
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che è, come si vede, una equazione alle derivate parziali del secondo ordine, cui soddisfa un qualsiasi potenziale newtoniano U (x, y, z) in ogni
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altro che la somma delle derivate dei singoli termini.
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numero finito di masse potenzianti) date dalle derivate del potenziale U, che ha l’espressione
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per le derivate del 1° ordine della funzione integranda si presenta, rispetto al criterio del n. 10, un caso di dubbia integrabilità, giacché codeste
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Se si passa alle derivate seconde della funzione rispetto alle coordinate di P (x, y, z), si riconosce, in base al n. 6, che, quando P va a
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corpo potenziante (o sulla sua superficie) l’attrazione esercitata su di esso ha per componenti le derivate, rispetto alle coordinate del punto, del
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17. Ricordando (n. 14) che le componenti dell’attrazione newtoniana altro non sono che le derivate del potenziale U, dobbiamo inferirne, nel caso
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, approfittando della circostanza (n. 13) che per ogni distribuzione di volume, il potenziale e le sue derivate prime si mantengono ovunque funzioni finite
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secondo di v e si designa con e così dicasi per le derivate di ordine superiore al secondo.
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cioè i rapporti incrementali delle componenti; onde risulta che l’esistenza del derivato (t) implica l’esistenza delle derivate delle componenti e
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L’osservazione precedente mostra inoltre che le componenti del derivato é di un vettore v sono date dalle derivate delle componenti di v: e così le
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; due vettori con egual derivata differiscono per un vettore costante; la derivata di un vettore somma è somma delle derivate dei vettori addendi; se v
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Avremo raggiunto il nostro intento se mostreremo che, nelle derivate di U* rapporto ad x, y, z, rimane (come in U*) un fattore ε3 (moltiplicato per
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derivate, appare manifesto che la quantità in parentesi è una funzione F, che rimane finita e continua (in tutto il campo di integrazione), anche per ε
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con formule analoghe per le derivate rapporto ad y e a z, come appunto volevamo dimostrare.
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, per le derivate di U* il valore esatto, diciamo Φ, dell’intensità dell’attrazione.
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potenziato P, ossia dal crescere di ρ, le derivate di U* tendono a zero per doppio motivo : per la presenza del fattore ε3sotto il segno, e per quella del
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Riassumendo, le derivate dei tre vettori fondamentali t, n, b sono fornite dalle formule seguenti:
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Riprendiamo all’uopo lo sviluppo di Taylor, di cui già ci siamo valsi al n. 75, ed esprimiamo P 1= P(s + Δs) in funzione di P(s) e delle sue derivate
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cioè coincidono colle derivate (rapporto alle coordinate x, y, z di P) della funzione
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casi di discontinuità per le derivate prime.
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dove designano le derivate di x, y, rispetto al tempo Nel seguito con punti sovrapposti al simbolo di uno scalare o di un vettore o di un punto
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Nel seguito con punti sovrapposti al simbolo di uno scalare o di un vettore o di un punto variabile denoteremo esclusivamente le derivate rispetto
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Il caso che qui resta dubbio, va discusso considerando le derivate successive di s; ma per il seguito ciò non è necessario.
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ricorrere alle derivate successive: la prima che non si annulla fornisce la voluta indicazione.
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risolubile rispetto alle derivate di ordine massimo, esiste, in generale, un sistema integrale dipendente da un numero di costanti arbitrarie uguale
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Accademia della crusca
