si ottiene per la velocità areolare in coordinate cartesiane (rispetto all’origine) l'espressione
fisica
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L’equazione della traiettoria, che si ottiene eliminando il tempo fra le (28'), è data dalla
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Quadrando e sommando le (27') e introducendo la velocità intensiva iniziale v 0, si ottiene per la velocità intensiva in un istante qualsiasi l
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la velocità areolare rispetto ad O è data, a meno del fattore da Ora, qualunque essa sia, si ottiene, derivandola rispetto al tempo,
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che si ottiene esprimendo che il vettore P - O ha rispetto agli assi mobili le componenti costanti x, y e x (Cap. I, n. 18).
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uniforme di direzione ortogonale all’asse di quello, si ottiene un moto rotatorio uniforme avente la stessa velocità angolare intorno ad un asse
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si ottiene, sostituendo nella (29), l'equazione vettoriale
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onde, applicando il teorema dei moti relativi (n. 2), si ottiene fra le due derivate di v la relazione
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, si ottiene
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23. Cambiamo segno a entrambi i membri della (19), invertendo in ciascun prodotto vettoriale l'ordine dei fattori. Si ottiene
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che così si ottiene, suggerisce appunto una particolare scelta di variabili che permette di ridurre il problema di integrazione del sistema (20') ad
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si ottiene una equazione lineare in u z che, risolta, dà intanto
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agevolmente per via formale diretta. Dividendo la (25') per λ2 si ottiene
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Un arco completo di cicloide si ottiene facendo variare Θ da -π a π.
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e, confrontando colla (13), si ottiene
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donde, con una quadratura, si ottiene l’espressione di ζ' in termini di ζ, eliminando fra tale espressione e la (15), si perviene alla cercata
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cioè: Componendo, a partire da una stessa configurazione del sistema, due o più spostamenti virtuali, si ottiene ancora uno spostamento virtuale.
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e, poiché l’opposto di uno spostamento si ottiene cambiando segnoa tutte le variazioni delle coordinate lagrangiane e quindi anche alla δφj, uno
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Conviene inoltre osservare che due sistemi sono equivalenti, se uno d’essi si ottiene dall’altro aggiungendo dei vettori che formano un sistema
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Integrando, si ottiene come potenziale, a meno della costante additiva arbitraria, la funzione della sola z
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onde, integrando questo differenziale esatto, si ottiene pel potenziale, a meno della costante additiva arbitraria, la funzione della sola ρ
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Risulta di qui che, eseguendo successivamente sopra un sistema quante e quali si vogliono operazioni elementari, si ottiene sempre un sistema
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talché, integrando, si ottiene pel lavoro L P 1 P 2 lungo un qualsiasi cammino del punto di applicazione da P 1 a P 2 il valore
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Si ottiene così una formula che è ben nota fin dalla Fisica elementare e si ritrova direttamente nella Dinamica del punto (determinando il valore π
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Il volume generato da un’area piana che ruota attorno ad un asse, situato nel piano e che non la attraversa, si ottiene moltiplicando l’area data per
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e quando si portano nella (16) questi valori di α, β, γ scompare anche Ί, e si ottiene
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ed esprimendo Ί mediante i raggi R 1 = z 1tgα, R 2 = z 2tgα e l’altezza h = z 2 - z 1 del tronco si ottiene
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integrale, che si ottiene dall’integrazione per parti Cfr. p. es. Dini, Lezioni di Analisi infinitesimale, vol. II (Pisa: Nistri, 1909), pag. 301. Nella
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= ε, α = 0, n = 2, e poi v = τε. Si ottiene allora la forma di cui ci serviamo.
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Si ottiene
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ottiene la posizione di P 3, orientando l’asia P 2 P 3 parallelamente a Q 3 Q 1 nell’uno o nell’altro verso, secondo quanto s’è detto or ora; e così via
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rispettivamente, si ottiene
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A tale scopo notiamo che derivando la (18) si ottiene
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, si ottiene
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Portando questo valore nelle (20), si ottiene
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talché si ottiene per la componente v r, di v secondo la r l’espressione
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calcolato mediante la (23). Si ottiene così
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Sostituendo J in luogo di J si ottiene
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Eliminando T dalla seconda equazione per mezzo della prima, si ottiene
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Più precisamente, se si scrive per brevità y' al posto di e si nota che il ds può essere sostituito con si ottiene, moltiplicando da ultimo per dx,
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integrazione; con che si ottiene per la funicolare (rispetto ad assi che da quanto precede risultano oramai determinati univocamente) l’equazione
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mentre, nel caso in cui valga il segno -, sussisterà l’analoga formula che si ottiene dalla precedente, scambiando al primo membro T A con T.
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talché eliminando M per mezzo della (41') e tenendo conto della (40) si ottiene
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Essa equivale manifestamente ad un’unica condizione effettiva che si ottiene eguagliando a zero il coefficiente dell’arbitraria dq.
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Moltiplicando ambo i membri delle (19) per e sommando rispetto all’indice i da 1 ad N, si ottiene, in base alle (25), (26), l’equazione
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sinγ e si abbia riguardo alle (18) e (19), si ottiene
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) e che ammette le (2) come equazioni parametriche. Eliminando t fra le (2) si ottiene la rappresentazione della traiettoria mediante due equazioni in x
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si ottiene il cammino totale compiuto dal punto, sulla sua traiettoria, nel prefissato intervallo di tempo, restando computato positivamente nel
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Se la stessa costruzione si eseguisce a partire da un altro punto O' ed è O'A'1 A'2,…,A'n la poligonale che così si ottiene, si riconosce
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a t. Poiché rispetto alla terna Ωξηζ, che per ipotesi è fissa rispetto alla Oxyz, il punto O e i vettori i, j, k, sono costanti, si ottiene
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Accademia della crusca
