si ottiene per la velocità areolare in coordinate cartesiane (rispetto all’origine) l'espressione
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e le coordinate del punto P dovranno soddisfare durante tutto il moto alle equazioni
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dove x o, y o, zo son le coordinate (arbitrarie) della posizione P o del punto nell’istante t = 0 (posizione iniziale).
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38. Considerata la posizione P 1 assunta da P in un qualsiasi istante t 1 e le corrispondenti coordinate
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cioè ad intervalli di tempo le coordinate di P cambiano segno
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, applichiamolo all’origine O delle coordinate e sia Q il suo estremo, vale a dire il punto di coordinate X, Y , Z (n. 6). Denotate con Q 1, Q 2, Q 3 le
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Ciò posto, denotando con ξ, η le coordinate del punto generico dell’odografo, si trova
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Designando con ξ, η, ζ le coordinate di P rispetto alla terna fissa e usando per le coordinate di O e per le componenti dei versori i, j, k rispetto
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cambiamento, puramente geometrico, di coordinate, la velocità e l’accelerazione di ogni singolo punto restano intrinsecamente invariate, in quanto le
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A tale scopo si osservi che se il vettore unitario u si immagina applicato nell’origine O, il suo estremo libero P (di coordinate u x, u v, u z) si
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ossia, in coordinate polari (Cap. II n, 20)
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Riportandoci per un momento ai nn. 29, 30, riconosciamo subito che le espressioni parametriche delle coordinate ξ', η' di P' (riferite agli stessi
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Dalla figura risulta ovviamente che, indicando con aΘ l’ascissa di I, le coordinate ξ, η di P hanno in ogni caso le espressioni:
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Suppongasi λ individuata mediante la sua equazione in coordinate polari
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dove x, y designano le coordinate (costanti) di P su p, e le α, β (coordinate su π dell’origine mobile) nonché l'anomalia Θ sono determinate funzioni
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Solitamente, parlando di coordinate lagrangiane di un sistema olonomo si intende riferirsi a coordinate tutte essenziali, cioè in numero uguale ai
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cui si dà così luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane.
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coordinate cartesiane dei punti del sistema e quello delle coordinate lagrangiane (o grado di libertà del sistema).
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Viceversa, se ad un sistema di N punti P i si impone la condizione di soddisfare colle coordinate x i, y i, z i dei rispettivi punti ad un certo
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8. Coordinate lagrangiane sovrabbondanti. - Se ad un sistema olonomo S di coordinate lagrangiane (indipendenti) q l, q 2,... , q n, e perciò avente n
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' codeste coordinate q h , le quali, per altro, non andranno più considerate indipendenti, bensì legate fra loro, istante per istante, dalle equazioni (4
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Per ogni possibile sistema olonomo di N punti si possono particolare assumere come coordinate sovrabbondanti le 3N coordinate cartesiane x i, y i, zi
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Se un sistema olonomo di N punti è riferito a certe n coordinate lagrangiane indipendenti
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le l ' equazioni indipendenti che legano le coordinate q h , sulla generica configurazione C relativa all’istante t, dovranno soddisfare alle stesse
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Se, in particolare, si assumono come coordinate sovrabbondanti pel sistema le coordinate cartesiane dei suoi punti e le equazioni dei vincoli sono
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che risulta lineare omogenea nelle variazioni elementari (arbitrarie e indipendenti) δq h , delle coordinate lagrangiane (anche se i vincoli
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per un punto vincolato a non uscire dal triedro delle coordinate positive (o nulle).
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dove le variazioni δq h delle coordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni
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talché nel nostro caso dovranno soddisfare ad esse le coordinate di tutti i punti della sfera.
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Nel caso particolare, in cui pel sistema si assumano come coordinate lagrangiane le coordinate cartesiane dei suoi singoli punti, gli spostamenti
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Immaginando sostituite alle coordinate x, y, z le così dette coordinate cilindriche ρ, ζ, z, essendo ρ e ζ nient’altro che coordinate polari rispetto
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Rispetto ad un generico sistema di coordinate coll’origine in O, si ha
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e proiettata sugli assi dà, per le coordinate x 0, y 0, z 0 di G, le espressioni
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Poniamo in O l’origine delle coordinate, e dirigiamo gli assi secondo gli spigoli, con che le equazioni delle sei facce sono
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La R non è altro che la coordinate y = f(z) della curva meridiana, sicché risulta
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È poi ben noto dalla Geometria analitica che, indicando con x i, y i, z i le coordinate del punto A i, le coordinate x 0, y 0, z 0 del punto C , sono
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Perciò la funzione U , considerata come dipendente dalle coordinate del punto P, ha per derivate le componenti della forza d’attrazione che si
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con formule analoghe relative alle altre coordinate e, più generalmente, a derivazioni ripetute. Ne segue in particolare
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orientato OP che dall’origine O delle coordinate va al punto di coordinate X, Y, Z.
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Giova notare che, in particolare, per un vettore unitario le coordinate o componenti coincidono, per le (3), coi rispettivi coseni direttori.
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Ammessa la derivabilità delle coordinate di P, codesti rapporti hanno rispettivamente per limiti e son queste appunto le componenti di
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dove, naturalmente, significa il rapporto fra gli incrementi delle coordinate, lungo la funicolare, corrispondenti ad un incremento ds dell’arco.
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§ 6. - Statica dei sistemi olonomi a quanti si vogliono gradi di libertà.Condizioni di equilibrio in coordinate lagrangiane.
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29. Al n. 25 abbiamo determinato le condizioni di equilibrio di un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane indipendenti. Si può chiedere
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cioè coincidono colle derivate (rapporto alle coordinate x, y, z di P) della funzione
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Più in generale dimostrare che se ρ = ρ(ϑ) è l’equazione di una curva piana in coordinate polari, l’equazione geometrica
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e se si sceglie un punto fisso qualsivoglia, p. es. l'origine O delle coordinate, si ha
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eseguire la trasformazione di coordinate che fa passare ad Ωξηζ, quanto eseguir prima questa trasformazione e poi calcolare le componenti della velocità
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§ 4.- Moti piani in coordinate polari .
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si potran dire le equazioni del moto in coordinate polari.
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Accademia della crusca
