Ad ogni modo, entro un campo d’osservazione non troppo largo, si può, in una prima approssimazione, ritenere che nel moto dei gravi l’accelerazione
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esce da quel campo ristretto, in cui la nostra rappresentazione schematica del fenomeno può ritenersi attendibile.
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non sia identicamente nullo nel campo di variabilità delle q h.
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e questa dovrebbe risultare identicamente soddisfatta [cioè per tutti i possibili valori di e t, appartenenti al campo in cui è definita la (13
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Un tal vincolo dicesi unilaterale; e la stessa denominazione si usa nel caso, in cui il campo in cui può muoversi il punto sia limitato da più
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derivabili (entro il campo C per le x, y, z ed entro un certo determinato campo di variabilità per ).
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In questo caso il vettore che rappresenta la forza del campo è il solito g, e su di un corpo (punto materiale) di massa m agisce, come sappiamo, il
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La regione spaziale C in cui è definita una forza posizionale dicesi campo di forza e chiamasi forza del campo, in un suo generico punto, la forza F
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, se F è la forza del campo in un dato posto (vale a dire quella che agisce sulla unità di massa ivi collocata), la forza da cui risulta sollecitata una
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25. Linee di forza di un campo. - Per avere un’immagine geometrica del modo in cui in un dato campo varia la direzione della corrispondente forza F
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Ogni linea λ così generata si chiama appunto linea di forza; e dallo stesso procedimento dianzi indicato risulta che per ogni punto del campo passa
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Per un campo uniforme e più in generale per un campo, la cui forza sia di direzione costante da luogo a luogo, le linee di forza sono rette parallele
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second’ordine, in tutto il campo, dicesi potenziale del campo o funzione delle forze Alcuni autori designano la funzione U esclusivamente con quest
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la terna di assi cui vien riferito il campo di forza. Infine, scrivendo la (11) in forma esplicita
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) soddisfacente alle (11) sia uniforme, cioè, per ogni punto P, dotata di un solo valore, in tutto il campo che si considera. Questa limitazione (circa la
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a) È conservativo ogni campo uniforme.
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28. In un campo di forza conservativo di potenziale -U, diconsi superficie equipotenziali le ∞1 superficie
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In altre parole, in un campo conservativo le linee di forza sono le traiettorie ortogonali delle superficie equipotenziali.
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Per ogni punto x 0, y 0, z 0 del campo passa una superficie equipotenziale ed una sola, cioè, quella di equazione
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in ogni punto del campo la forza è normale alla superficie equipotenziale passante per esso.
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d) Diamo anche un esempio di potenziale non uniforme in tutto il campo di forza in cui sussiste la (11); dapprima in due dimensioni, considerando l
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) si riduce manifestamente a k dζ, talché kζ si può risguardare come potenziale del campo.
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Se profittando della costante additiva arbitraria facciamo in modo che il potenziale si annulli in un certo punto P, del campo e designamo con P (x
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posizione di partenza dopo aver descritto entro il campo un cammino chiuso, il lavoro totale della forza è nullo.
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In un campo piano le componenti della forza son del tipo
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universalità (o indipendenza da ogni considerazione relativa al campo terrestre) che già le riconoscemmo, per astrazione, limitatamente al caso del
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L’elemento dell’integrale di campo a tre dimensioni (6) si può rappresentare, in base alla (5) (e a meno di infinitesimi di ordine superiore), con
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Denotiamo ancora con S il campo geometrico (che sarà a due dimensioni o ad una soltanto) che si fa corrispondere ad una superficie o ad una linea
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Introduciamo poi una qualche convenzione, mediante la quale ogni porzione ΔS del campo individui una porzione ΔC del corpo. Il criterio più semplice
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Circa l’esistenza di questo limite e circa il suo comportamento come funzione dei punti del campo S valgono considerazioni analoghe a quelle del n. 4.
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campo S, è però diversa la sua natura fisica, secondo le dimensioni del campo; nel caso generale del n. 4, μ era il rapporto (o limite di rapporto) di
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Il baricentro dipende allora esclusivamente dalla natura geometrica del campo S.
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e più generalmente dovunque compariscono somme estese ai punti di S, le somme stesse con integrali estesi al campo S (volume, superficie o linea
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Così, se dS è un elemento generico di campo intorno ad un punto P e si denotano con dm la massa dell’elemento, con δ la distanza di P dall’asse r
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dove l’integrazione va estesa al campo racchiuso dall’ellissoide.
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Per esaurire il campo, bisogna evidentemente far variare z da –c a +c.
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Di solito (cfr. l’avvertenza del Cap. VII, n. 24, a proposito di un generico campo di forza) si suol prescindere dal fattore m e chiamare potenziale
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’integrale esteso al campo S
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Detta r la distanza di Q dal punto potenziato P (che si suppone, beninteso, esterno al campo S occupato da C e quindi certamente distinto da un
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funzione sotto il segno), si può senz’altro asserire che esso è finito, continuo e derivabile a piacere; e di più, essendo i limiti del campo di
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Analogamente, nel caso di masse distribuite con continuità entro un campo S (a una, a due o a tre dimensioni) si presenta spontaneo il problema di
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La differenza essenziale, rispetto al caso finora considerato di un punto P esterno all’agente (cioè al campo occupato dalle masse potenzianti), sta
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Per ogni punto potenziato P, esterno al campo S occupato dalle masse potenzianti, le componenti dell’attrazione sono ancora (come nel caso di un
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estende al caso dell’integrale di campo ad una o due o tre dimensioni di una funzione f (Q) di un punto variabile Q, la quale si mantenga finita e continua
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punto P in un campo γ piccolo a piacere, interno a S, la f (Q|λ) si mantenga finita e continua, comunque varii P entro il campo S* = S - γ.
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in quanto si tratta dell’integrale ad 1 dimensione di una funzione che presenta, entro il campo d’integrazione, un infinito del 1° ordine.
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Rimane con ciò verificata a posteriori l’incondizionata continuità del campo di forza.
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dove le sommatorie vanno estese a tutti e soli i punti del solido cui sono applicate forze esterne; e si debbono sostituire con integrali di campo
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72. Estendendo la definizione data al n. 70, si definisce in modo analogo l’integrale di un vettore P funzione dei punti di un campo C qualsiasi
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È appena necessario rilevare che, se si considera un campo di pochi chilometri nell’intorno di un punto qualsiasi della superficie, il vettore G sarà
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Accademia della crusca
