Bisogna invece considerare non una autofunzione, corrispondente ad un valore determinato di λ (ci riferiamo per ora solo alla y(1) od alla y(2)), ma
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Come centro del pacchetto si definisce il baricentro di |f|2, cioè il punto le cui coordinate x, y, z sono date da
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dove P ed R sono due funzioni di x ed y (che supporremo analitiche): spesso in R figura una parametro (come nella (14)), cioè l'equazione è
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delle variabili: esso consiste nel cercare una soluzione u (x, y) che sia il prodotto di una funzione X della sola x per una funzione Ydella sola y
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dove è la distanza di F dal piano xy. Così le coordinate x ed y restano determinate con un' incertezza dell' ordine di grandezza di r:
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una fessura di larghezza d, ogni volta che una particella passa attraverso la fessura si può dire che si è determinata la sua coordinata y ( supposto
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D'altra parte l'incertezza su x ed y è data in questo caso dalle dimensioni dell'orbita, cioè
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dove C è una qualsiasi costante (rispetto ad x, y , z). Abbiamo così trovato la distribuzione spaziale dell'indice di rifrazione (che esso fosse
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Si osservi che questa deve essere una identità rispetto ad x, y, z, e che, d'altra parte, x, y, z vi figurano solo attraverso la U: dovrà dunque
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difatti l'equazione diviene allora (dividendola tutta per X Y Z)
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Riprendiamo l'equazione (131') cui soddisfa la u (x, y, z) e scriviamola esplicitando il e ponendovi U = 0.
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qualunque siano x, y, z dovrà aversi
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si vede subito che, affinchè sia per e per x, (qualunque siano y, z, t), deve essere , con intero; e similmente per e : quindi
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Alla y va inoltre imposta la condizione che per la R si mantenga finita, quindi
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e che per la R tenda a zero non meno rapidamente di e quindi la y tenda ad un limite finito od a zero.
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(i coefficienti della seconda sommatoria sono i coniugati di quelli della prima, cosicchè la y risulta reale): si verifica facilmente che le serie
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È poi comodo introdurre, in luogo delle coordinate cartesiane x, y, le loro combinazioni lineari
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e le potenze superiori, e così via: ciò suggerisce il tentativo di cercare per y una espressione approssimata Y, della forma
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(dove il limite inferiore dell'integrale è un valore qualunque, ma fissato, di x). Si verifica subito infatti, sostituendo nella (291), che la y deve
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dove ,... sono funzioni di x che si determinano formalmente sostituendo la Y nella (294) in luogo di y ed uguagliando nei due membri i coefficienti
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(e analogamente per le componenti Y e Z).
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Per ottenere gli sviluppi di x ed y separatamente, basterebbe scrivere l'espressione coniugata della precedente, ed operare per addizione e
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a) Ogni numero k si può riguardare come un operatore, perchè premesso ad una f(x, y, ...) la muta nel prodotto kf(x, y, ...). Ciò vale, naturalmente
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Sostituendo nella (27), e ricordando che le y sono ortogonali e normalizzate, si ha
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componenti dei versori y rispetto agli assi : le indicheremo con ponendo
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Supponiamo che, dopo essere passati dal riferimento y al riferimento mediante la matrice , si passi ad un terzo riferimento (completo e ortogonale
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Ora si sostituiscano per e le loro espressioni mediante le y, cioè (v. (32))
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Questa è la legge con cui si trasforma la matrice nel passaggio dagli assi y agli assi .
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Osservazione sugli operatori incompleti. - In un problema in cui intervengano più variabili indipendenti x, y..., un o. l. si dirà completo, se nella
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essere moltiplicata per una funzione arbitraria fn(y) delle y, senza cessare di soddisfare la (53), per cui anche si potrà considerare come
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Perciò, considerando lo spazio hilbertiano delle funzioni di x e y, diremo che in questo spazio gli assi principali dell'o. l. incompleto non sono
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incompleto: il teorema ha in tal caso il significato seguente. Vi siano p. es. due variabili x, y, di cui solo la x interviene in : sappiamo già che
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Passiamo ora alla definizione di una funzione di più osservabili X, Y, Z, ... (relative allo stesso istante). Se queste sono compatibili tra loro, il
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Nel caso che invece X, Y, Z,... non siano compatibili tra loro, questo procedimento evidentemente non è più applicabile. Tuttavia, data una funzione
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Risulta poi evidente che la osservabile F così definita è compatibile con ciascuna delle osservabili date X, Y, Z...
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Data ora una funzione di più variabili F (x, y, z,...) sviluppabile in serie di potenze, si può sempre scrivere ciascun termine della serie in forma
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Poichè la U non contiene , l'operatore si spezza nella somma di uno , contenente solo , l'altro, , che contiene solo x, y, z:
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e quindi la (97') si trasforma nell'integrale seguente (dove scriviamo y in luogo di ):
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dx'ffi y(x', y, z, t) 12 dydz,
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corrispondenti a una particella di dati y e z (caso unidimensionale, v. § 36, p. II) e quindi, per il principio di sovrapposizione, è la probabilità che la
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funzione di x, ossia supponendo fissati y e z) si ottiene
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x, y, z rispettivamente, e ricerchiamo anzitutto gli operatori ad esse corrispondenti.
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(dove indica una somma fatta cambiando x successivamente in y e z). Ora, tenendo presente il significato degli operatori , si vede che
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Metteremo ora le equazioni diDirac in un'altra forma che, trattando simmetricamente la variabile t e le x, y, z, si presta sopratutto per
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Questo non è altro che l'integrale di scambio definito al § precedente, fatto però tenendo conto solo delle autofunzioni in x, y, z, senza i fattori
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Ricorderemo anzitutto che qualunque soluzione y(x) è certamente regolare (ossia sviluppabile in serie di potenze intere e positive della x) per tutti
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Nei problemi concreti, si deve disporre delle due costanti c1, c2 in modo che la y soddisfi a due altre condizioni imposte dal problema: p. es., che
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α) la y si deve annullare ad entrambi gli estremi:
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β) la y deve assumere gli stessi valori ai due estremi e così la :
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Tale condizione può essere sempre soddisfatta, perchè, detta Y(x) una autofunzione che non la soddisfi, basta dividere questa per la costante non
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Accademia della crusca
