Vocabolario dinamico dell'Italiano Moderno

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generale dimostriamo anzitutto che il prodotto vettoriale  v  Λ v 1 di un qualsiasi vettore v (non nullo) per un vettore
dimostriamo anzitutto che il prodotto vettoriale v Λ  v  1 di un qualsiasi vettore v (non nullo) per un vettore v 1
che il prodotto vettoriale v Λ v 1 di un qualsiasi vettore  v  (non nullo) per un vettore v 1 (pur esso non nullo e non
Λ v 1 di un qualsiasi vettore v (non nullo) per un vettore  v  1 (pur esso non nullo e non parallelo, né ortogonale a v) è
né ortogonale a v) è eguale al prodotto vettoriale  v  Λ v ' di v per il componente v ' 1 di v 1 secondo la
né ortogonale a v) è eguale al prodotto vettoriale v Λ  v  ' di v per il componente v ' 1 di v 1 secondo la giacitura
ortogonale a v) è eguale al prodotto vettoriale v Λ v ' di  v  per il componente v ' 1 di v 1 secondo la giacitura
al prodotto vettoriale v Λ v ' di v per il componente  v  ' 1 di v 1 secondo la giacitura ortogonale alla direzione
prodotto vettoriale v Λ v ' di v per il componente v ' 1 di  v  1 secondo la giacitura ortogonale alla direzione di v.
direzione di v. Invero, immaginando applicati i tre vettori  v  , v 1 e v ' 1 , in un medesimo punto O, abbiamo che i due
di v. Invero, immaginando applicati i tre vettori v ,  v  1 e v ' 1 , in un medesimo punto O, abbiamo che i due
di v. Invero, immaginando applicati i tre vettori v , v 1 e  v  ' 1 , in un medesimo punto O, abbiamo che i due prodotti v
v ' 1 , in un medesimo punto O, abbiamo che i due prodotti  v  Λ v 1 e v Λ v 1 ' hanno la stessa lunghezza, perché il
1 , in un medesimo punto O, abbiamo che i due prodotti v Λ  v  1 e v Λ v 1 ' hanno la stessa lunghezza, perché il
un medesimo punto O, abbiamo che i due prodotti v Λ v 1 e  v  Λ v 1 ' hanno la stessa lunghezza, perché il
medesimo punto O, abbiamo che i due prodotti v Λ v 1 e v Λ  v  1 ' hanno la stessa lunghezza, perché il parallelogramma di
1 ' hanno la stessa lunghezza, perché il parallelogramma di  v  e v 1 è equivalente al rettangolo di v e v ' 1 ;hanno la
hanno la stessa lunghezza, perché il parallelogramma di v e  v  1 è equivalente al rettangolo di v e v ' 1 ;hanno la stessa
parallelogramma di v e v 1 è equivalente al rettangolo di  v  e v ' 1 ;hanno la stessa direzione, perché i vettori v , v
di v e v 1 è equivalente al rettangolo di v e  v  ' 1 ;hanno la stessa direzione, perché i vettori v , v 1 e
di v e v ' 1 ;hanno la stessa direzione, perché i vettori  v  , v 1 e v ' 1 sono complanari; ed hanno il medesimo verso,
v e v ' 1 ;hanno la stessa direzione, perché i vettori v ,  v  1 e v ' 1 sono complanari; ed hanno il medesimo verso,
' 1 ;hanno la stessa direzione, perché i vettori v , v 1 e  v  ' 1 sono complanari; ed hanno il medesimo verso, perché nel
perché nel piano dei tre vettori applicati gli estremi di  v  e v ' 1 cadono dalla stessa parte della linea di azione di
nel piano dei tre vettori applicati gli estremi di v e  v  ' 1 cadono dalla stessa parte della linea di azione di v,
angoli e hanno lo stesso verso. Perciò risulta veramente  v  Λ v 1 = v v Λ v 1 '.
e hanno lo stesso verso. Perciò risulta veramente v Λ  v  1 = v v Λ v 1 '.
e hanno lo stesso verso. Perciò risulta veramente v Λ v 1 =  v  v Λ v 1 '.
hanno lo stesso verso. Perciò risulta veramente v Λ v 1 = v  v  Λ v 1 '.
lo stesso verso. Perciò risulta veramente v Λ v 1 = v v Λ  v  1 '.
dicesi prodotto vettoriale(od esterno) dei due vettori  v  1, v 2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore
dicesi prodotto vettoriale(od esterno) dei due vettori v 1,  v  2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2»
esterno) dei due vettori v 1, v 2 e si designa con  v  1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2» o « v 1 esterno v
esterno) dei due vettori v 1, v 2 e si designa con v 1 Λ  v  2 (da leggersi «v 1 vettore v 2» o « v 1 esterno v 2») il
1, v 2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore  v  2» o « v 1 esterno v 2») il vettore che ha la lunghezza la
si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2» o «  v  1 esterno v 2») il vettore che ha la lunghezza la direzione
v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2» o « v 1 esterno  v  2») il vettore che ha la lunghezza la direzione ortogonale
ha la lunghezza la direzione ortogonale alla giacitura di  v  1 e v 2 e il verso rispetto (od esterno) dei due vettori v
lunghezza la direzione ortogonale alla giacitura di v 1 e  v  2 e il verso rispetto (od esterno) dei due vettori v 1, v 2
v 1 e v 2 e il verso rispetto (od esterno) dei due vettori  v  1, v 2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore
e v 2 e il verso rispetto (od esterno) dei due vettori v 1,  v  2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2
(od esterno) dei due vettori v 1, v 2 e si designa con  v  1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2 » o « v 1 esterno v
esterno) dei due vettori v 1, v 2 e si designa con v 1 Λ  v  2 (da leggersi «v 1 vettore v 2 » o « v 1 esterno v 2») il
1, v 2 e si designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore  v  2 » o « v 1 esterno v 2») il vettore che ha la lunghezza la
designa con v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2 » o «  v  1 esterno v 2») il vettore che ha la lunghezza la direzione
v 1 Λ v 2 (da leggersi «v 1 vettore v 2 » o « v 1 esterno  v  2») il vettore che ha la lunghezza la direzione ortogonale
ha la lunghezza la direzione ortogonale alla giacitura di  v  1 e v 2 e il verso rispetto a cui appare destrorso il senso
lunghezza la direzione ortogonale alla giacitura di v 1 e  v  2 e il verso rispetto a cui appare destrorso il senso di
destrorso il senso di rotazione determinato dai due vettori  v  1, v 2 nell’ordine in cui son dati.
il senso di rotazione determinato dai due vettori v 1,  v  2 nell’ordine in cui son dati.
premesso, per dimostrare la (19) indichiamo con  v  1 ', v 2 ' i componenti di v 1, v 2 secondo la giacitura
premesso, per dimostrare la (19) indichiamo con v 1 ',  v  2 ' i componenti di v 1, v 2 secondo la giacitura
la (19) indichiamo con v 1 ', v 2 ' i componenti di  v  1, v 2 secondo la giacitura ortogonale a v, talché sia v 1
la (19) indichiamo con v 1 ', v 2 ' i componenti di v 1,  v  2 secondo la giacitura ortogonale a v, talché sia v 1 '+ v
di v 1, v 2 secondo la giacitura ortogonale a v, talché sia  v  1 '+ v 2 ' il componente, secondo la stessa giacitura, di v
v 2 secondo la giacitura ortogonale a v, talché sia v 1 '+  v  2 ' il componente, secondo la stessa giacitura, di v 1 +v 2
v 1 '+ v 2 ' il componente, secondo la stessa giacitura, di  v  1 +v 2 (n. 12).
(18) non richiedono dimostrazione quando sia  v  1 = 0 o quando v 1 e v 2 siano paralleli, giacché in tali
non richiedono dimostrazione quando sia v 1 = 0 o quando  v  1 e v 2 siano paralleli, giacché in tali ipotesi tutti e
richiedono dimostrazione quando sia v 1 = 0 o quando v 1 e  v  2 siano paralleli, giacché in tali ipotesi tutti e tre i
codesti casi e supposto dapprima a > 0, i vettori a (  v  1 Λ v 2 ), a v 1 Λ v 2 , v 1 Λ a v 2 hanno tutti e tre, per
codesti casi e supposto dapprima a > 0, i vettori a ( v 1 Λ  v  2 ), a v 1 Λ v 2 , v 1 Λ a v 2 hanno tutti e tre, per
e supposto dapprima a > 0, i vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a  v  1 Λ v 2 , v 1 Λ a v 2 hanno tutti e tre, per definizione,
supposto dapprima a > 0, i vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a v 1 Λ  v  2 , v 1 Λ a v 2 hanno tutti e tre, per definizione, la
dapprima a > 0, i vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a v 1 Λ v 2 ,  v  1 Λ a v 2 hanno tutti e tre, per definizione, la lunghezza
a > 0, i vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a v 1 Λ v 2 , v 1 Λ a  v  2 hanno tutti e tre, per definizione, la lunghezza av 1 v
a v 2 hanno tutti e tre, per definizione, la lunghezza av 1  v  2, sen v 1, v 2 e la direzione e il verso di v 1 Λ v 2 ,
tutti e tre, per definizione, la lunghezza av 1 v 2, sen  v  1, v 2 e la direzione e il verso di v 1 Λ v 2 , giacchè a v
e tre, per definizione, la lunghezza av 1 v 2, sen v 1,  v  2 e la direzione e il verso di v 1 Λ v 2 , giacchè a v 1 ,
av 1 v 2, sen v 1, v 2 e la direzione e il verso di  v  1 Λ v 2 , giacchè a v 1 , ed a v 2 , sono paralleli e di
av 1 v 2, sen v 1, v 2 e la direzione e il verso di v 1 Λ  v  2 , giacchè a v 1 , ed a v 2 , sono paralleli e di verso
v 1, v 2 e la direzione e il verso di v 1 Λ v 2 , giacchè a  v  1 , ed a v 2 , sono paralleli e di verso eguale a v 1 e v 2
la direzione e il verso di v 1 Λ v 2 , giacchè a v 1 , ed a  v  2 , sono paralleli e di verso eguale a v 1 e v 2 ,
a v 1 , ed a v 2 , sono paralleli e di verso eguale a  v  1 e v 2 , rispettivamente, talché i tre vettori considerati
a v 1 , ed a v 2 , sono paralleli e di verso eguale a v 1 e  v  2 , rispettivamente, talché i tre vettori considerati sono
 v  1+ v 2 = v 2+ v 1
1+  v  2 = v 2+ v 1
1+ v 2 =  v  2+ v 1
1+ v 2 = v 2+  v  1
poi è a 0, osserviamo che l’angolo di a  v  1 e v 2 , è eguale a quello di - v 1 , e v 2 ed ha perciò
poi è a 0, osserviamo che l’angolo di a v 1 e  v  2 , è eguale a quello di - v 1 , e v 2 ed ha perciò
che l’angolo di a v 1 e v 2 , è eguale a quello di -  v  1 , e v 2 ed ha perciò l’ampiezza di e di verso opposto a
l’angolo di a v 1 e v 2 , è eguale a quello di - v 1 , e  v  2 ed ha perciò l’ampiezza di e di verso opposto a quello di
di e di verso opposto a quello di Analogamente l’angolo di  v  1 , e a v 2 , è di ampiezza e di verso opposto a onde si
opposto a quello di Analogamente l’angolo di v 1 , e a  v  2 , è di ampiezza e di verso opposto a onde si conclude che
e di verso opposto a onde si conclude che i tre vettori a (  v  1 Λ v 2 ), a v 1 Λ v 2 , v 1 Λ a v 2 , hanno la lunghezza
opposto a onde si conclude che i tre vettori a ( v 1 Λ  v  2 ), a v 1 Λ v 2 , v 1 Λ a v 2 , hanno la lunghezza |a|v 1
a onde si conclude che i tre vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a  v  1 Λ v 2 , v 1 Λ a v 2 , hanno la lunghezza |a|v 1 v 2 e la
onde si conclude che i tre vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a v 1 Λ  v  2 , v 1 Λ a v 2 , hanno la lunghezza |a|v 1 v 2 e la stessa
conclude che i tre vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a v 1 Λ v 2 ,  v  1 Λ a v 2 , hanno la lunghezza |a|v 1 v 2 e la stessa
che i tre vettori a ( v 1 Λ v 2 ), a v 1 Λ v 2 , v 1 Λ a  v  2 , hanno la lunghezza |a|v 1 v 2 e la stessa direzione e
2 ), a v 1 Λ v 2 , v 1 Λ a v 2 , hanno la lunghezza |a|v 1  v  2 e la stessa direzione e il verso opposto di v 1 Λ v 2 ; e
|a|v 1 v 2 e la stessa direzione e il verso opposto di  v  1 Λ v 2 ; e perciò coincidono.
1 v 2 e la stessa direzione e il verso opposto di v 1 Λ  v  2 ; e perciò coincidono.
prodotto scalare  v  1 x v può così interpretarsi (n. 19) come prodotto di v per
prodotto scalare v 1 x  v  può così interpretarsi (n. 19) come prodotto di v per la
v 1 x v può così interpretarsi (n. 19) come prodotto di  v  per la componente di v 1 secondo codesta perpendicolare al
(n. 19) come prodotto di v per la componente di  v  1 secondo codesta perpendicolare al piano, debitamente
sulla base di area v; onde il valore assoluto di  v  1 x v, ossia di v 1 x (v 2 Λ v 3) si identifica con vh
di area v; onde il valore assoluto di v 1 x v, ossia di  v  1 x (v 2 Λ v 3) si identifica con vh (area della base per
onde il valore assoluto di v 1 x v, ossia di v 1 x (v 2 Λ  v  3) si identifica con vh (area della base per l’altezza),
base per l’altezza), cioè col volume del parallelepipedo di  v  1, v 2, v 3. E il segno di v 1 x v è + o -, secondo che
per l’altezza), cioè col volume del parallelepipedo di v 1,  v  2, v 3. E il segno di v 1 x v è + o -, secondo che l’angolo
cioè col volume del parallelepipedo di v 1, v 2,  v  3. E il segno di v 1 x v è + o -, secondo che l’angolo di v
volume del parallelepipedo di v 1, v 2, v 3. E il segno di  v  1 x v è + o -, secondo che l’angolo di v 1 colla direzione
del parallelepipedo di v 1, v 2, v 3. E il segno di v 1 x  v  è + o -, secondo che l’angolo di v 1 colla direzione della
v 3. E il segno di v 1 x v è + o -, secondo che l’angolo di  v  1 colla direzione della perpendicolare alla giacitura di v
v 1 colla direzione della perpendicolare alla giacitura di  v  2 e v 3, orientata nel verso secondo cui appar destrorso il
direzione della perpendicolare alla giacitura di v 2 e  v  3, orientata nel verso secondo cui appar destrorso il senso
la dicitura introdotta al n. 6) secondo che la terna  v  1, v 2, v 3 è destrorsa o sinistrorsa.
la dicitura introdotta al n. 6) secondo che la terna v 1,  v  2, v 3 è destrorsa o sinistrorsa.
dicitura introdotta al n. 6) secondo che la terna v 1, v 2,  v  3 è destrorsa o sinistrorsa.
ogni caso il prodotto scalare di  v  1 per v 2 si denota con v 1 x v 2 da leggersi «v 1 scalare
ogni caso il prodotto scalare di v 1 per  v  2 si denota con v 1 x v 2 da leggersi «v 1 scalare v 2».
ogni caso il prodotto scalare di v 1 per v 2 si denota con  v  1 x v 2 da leggersi «v 1 scalare v 2».
caso il prodotto scalare di v 1 per v 2 si denota con v 1 x  v  2 da leggersi «v 1 scalare v 2».
1 per v 2 si denota con v 1 x v 2 da leggersi «v 1 scalare  v  2».
che il valore assoluto di  v  1 x (v 2 Λ v 3) dà il volume del parallelepipedo dei
che il valore assoluto di v 1 x (v 2 Λ  v  3) dà il volume del parallelepipedo dei vettori v 1, v 2, v
x (v 2 Λ v 3) dà il volume del parallelepipedo dei vettori  v  1, v 2, v 3. Per dimostrarlo, escludiamo provvisoriamente i
2 Λ v 3) dà il volume del parallelepipedo dei vettori v 1,  v  2, v 3. Per dimostrarlo, escludiamo provvisoriamente i casi
v 3) dà il volume del parallelepipedo dei vettori v 1, v 2,  v  3. Per dimostrarlo, escludiamo provvisoriamente i casi
costruire un effettivo parallelepipedo e indichiamo con  v  il prodotto v 2 Λ v 3, notando che la lunghezza di v dà
un effettivo parallelepipedo e indichiamo con v il prodotto  v  2 Λ v 3, notando che la lunghezza di v dà l’area del
parallelepipedo e indichiamo con v il prodotto v 2 Λ  v  3, notando che la lunghezza di v dà l’area del
con v il prodotto v 2 Λ v 3, notando che la lunghezza di  v  dà l’area del parallelogramma dei vettori v 2, v 3, mentre
la lunghezza di v dà l’area del parallelogramma dei vettori  v  2, v 3, mentre la direzione di v è quella della
di v dà l’area del parallelogramma dei vettori v 2,  v  3, mentre la direzione di v è quella della perpendicolare
dei vettori v 2, v 3, mentre la direzione di  v  è quella della perpendicolare al piano del parallelogramma.
è nullo anche uno solo dei due vettori  v  1, v 2 o se i duevettori son paralleli ( ), la definizione
è nullo anche uno solo dei due vettori v 1,  v  2 o se i duevettori son paralleli ( ), la definizione
lascia bensì indeterminati la direzione e il verso di  v  1 Λ v 2, ma assegna alla sua lunghezza il valore 0. Perciò
lascia bensì indeterminati la direzione e il verso di v 1 Λ  v  2, ma assegna alla sua lunghezza il valore 0. Perciò in
lunghezza il valore 0. Perciò in tali ipotesi assumeremo  v  1 Λ v 2 = 0. Poiché non vi è altro caso in cui ciò possa
il valore 0. Perciò in tali ipotesi assumeremo v 1 Λ  v  2 = 0. Poiché non vi è altro caso in cui ciò possa
entrambi diversi allo zero, l’annullarsi del prodotto  v  1 Λ v 2 dà la condizione di parallelismo. E, come pel
entrambi diversi allo zero, l’annullarsi del prodotto v 1 Λ  v  2 dà la condizione di parallelismo. E, come pel prodotto
prodotto scalare (n. 19), se si sa che è nullo il prodotto  v  1 Λ v 2 di un dato vettore v 1 per ogni altro vettore v 2,
scalare (n. 19), se si sa che è nullo il prodotto v 1 Λ  v  2 di un dato vettore v 1 per ogni altro vettore v 2, si
si sa che è nullo il prodotto v 1 Λ v 2 di un dato vettore  v  1 per ogni altro vettore v 2, si conclude che è v 1 = 0,
v 1 Λ v 2 di un dato vettore v 1 per ogni altro vettore  v  2, si conclude che è v 1 = 0, giacché in caso contrario
vettore v 1 per ogni altro vettore v 2, si conclude che è  v  1 = 0, giacché in caso contrario basterebbe prendere v 2
è v 1 = 0, giacché in caso contrario basterebbe prendere  v  2 non nullo e non parallelo a v 1 per avere v v 1 Λ v 2 ≠
basterebbe prendere v 2 non nullo e non parallelo a  v  1 per avere v v 1 Λ v 2 ≠ 0. Giova tener presente che v 1 Λ
prendere v 2 non nullo e non parallelo a v 1 per avere  v  v 1 Λ v 2 ≠ 0. Giova tener presente che v 1 Λ v 2 (ove non
prendere v 2 non nullo e non parallelo a v 1 per avere v  v  1 Λ v 2 ≠ 0. Giova tener presente che v 1 Λ v 2 (ove non
v 2 non nullo e non parallelo a v 1 per avere v v 1 Λ  v  2 ≠ 0. Giova tener presente che v 1 Λ v 2 (ove non sia
a v 1 per avere v v 1 Λ v 2 ≠ 0. Giova tener presente che  v  1 Λ v 2 (ove non sia zero) è sempre ortogonale a ciascuno
1 per avere v v 1 Λ v 2 ≠ 0. Giova tener presente che v 1 Λ  v  2 (ove non sia zero) è sempre ortogonale a ciascuno dei
non sia zero) è sempre ortogonale a ciascuno dei vettori  v  1 e v 2 . Se in particolare u è un vettore unitario
sia zero) è sempre ortogonale a ciascuno dei vettori v 1 e  v  2 . Se in particolare u è un vettore unitario ortogonale ad
unitario ortogonale ad un dato vettore v, il prodotto u Λ  v  (essendo ) ha la stessa lunghezza u di v, è ortogonale ad u
) ha la stessa lunghezza u di v, è ortogonale ad u e  v  ed ha verso tale che la terna (ortogonale) u, v, u Λ v
u e v ed ha verso tale che la terna (ortogonale) u, v, u Λ  v  risulta destrorsa. Tale è perciò anche la terna v, u Λ v, u
vettorialmente (a sinistra) un qualsiasi vettore  v  per un vettore unitario ortogonale u equivale a far ruotare
per un vettore unitario ortogonale u equivale a far ruotare  v  (senza alterarne la lunghezza) intorno alla direzione
un vettore applicato v, decomposto nei suoi componenti  v  ', v", normale e parallelo ad r, e aventi la stessa origine
la stessa origine di v, il momento (rispetto ad r) di  v  coincide col momento risultante del sistema formato dai
risultante del sistema formato dai vettori applicati  v  ', v ".
risultante del sistema formato dai vettori applicati v ',  v  ".
 v  = v vers v.
=  v  vers v.
Scalare. – Dati due vettori  v  1, v 2, entrambi diversi dallo zero, dicesi prodotto
Scalare. – Dati due vettori v 1,  v  2, entrambi diversi dallo zero, dicesi prodotto scalare (od
diversi dallo zero, dicesi prodotto scalare (od interno) di  v  1, per v 2 il prodotto v 1 v 2 cos delle lunghezze dei due
zero, dicesi prodotto scalare (od interno) di v 1, per  v  2 il prodotto v 1 v 2 cos delle lunghezze dei due vettori
prodotto scalare (od interno) di v 1, per v 2 il prodotto  v  1 v 2 cos delle lunghezze dei due vettori per il coseno del
scalare (od interno) di v 1, per v 2 il prodotto v 1  v  2 cos delle lunghezze dei due vettori per il coseno del
di derivazione dei prodotti scalari si ha supponendovi  v  1, = v 2 = v e v di lunghezza costante. È allora costante
derivazione dei prodotti scalari si ha supponendovi v 1, =  v  2 = v e v di lunghezza costante. È allora costante anche il
dei prodotti scalari si ha supponendovi v 1, = v 2 =  v  e v di lunghezza costante. È allora costante anche il
dei prodotti scalari si ha supponendovi v 1, = v 2 = v e  v  di lunghezza costante. È allora costante anche il prodotto
costante. È allora costante anche il prodotto scalare  v  x v (quadrato della lunghezza) e risulta ossia (n. 19):
costante. È allora costante anche il prodotto scalare v x  v  (quadrato della lunghezza) e risulta ossia (n. 19):
 v  a = v r + v τ
a =  v  r + v τ
a = v r +  v  τ
immaginiamo applicati in un medesimo punto O i vettori u,  v  1 e v 2, sarà rappresentato dalla diagonale uscente da O
applicati in un medesimo punto O i vettori u, v 1 e  v  2, sarà rappresentato dalla diagonale uscente da O del
dalla diagonale uscente da O del parallelogramma di  v  1 e v 2 , e perciò risulterà anch’esso ortogonale a v e
dalla diagonale uscente da O del parallelogramma di v 1 e  v  2 , e perciò risulterà anch’esso ortogonale a v e quindi ad
di v 1 e v 2 , e perciò risulterà anch’esso ortogonale a  v  e quindi ad u. Poiché questo è unitario e ortogonale a
questo è unitario e ortogonale a tutti e tre i vettori  v  1 + v 2 , v 1, v 2 , i tre prodotti (20) si otterranno
è unitario e ortogonale a tutti e tre i vettori v 1 +  v  2 , v 1, v 2 , i tre prodotti (20) si otterranno facendo
è unitario e ortogonale a tutti e tre i vettori v 1 + v 2 ,  v  1, v 2 , i tre prodotti (20) si otterranno facendo ruotare
e ortogonale a tutti e tre i vettori v 1 + v 2 , v 1,  v  2 , i tre prodotti (20) si otterranno facendo ruotare
prodotti (20) si otterranno facendo ruotare rispettivamente  v  1 + v 2, v 1, v 2 nel piano ortogonale alla direzione
(20) si otterranno facendo ruotare rispettivamente v 1 +  v  2, v 1, v 2 nel piano ortogonale alla direzione orientata
si otterranno facendo ruotare rispettivamente v 1 + v 2,  v  1, v 2 nel piano ortogonale alla direzione orientata di
otterranno facendo ruotare rispettivamente v 1 + v 2, v 1,  v  2 nel piano ortogonale alla direzione orientata di vers v,
precedenti definizioni risulta che  v  1 x v 2 è nullo sempre e solo quando sia nullo almeno uno
precedenti definizioni risulta che v 1 x  v  2 è nullo sempre e solo quando sia nullo almeno uno dei due
vettori siano ortogonali; talché l’annullarsi del prodotto  v  1 x v 2 di due vettori, entrambi diversi da zero, esprime
siano ortogonali; talché l’annullarsi del prodotto v 1 x  v  2 di due vettori, entrambi diversi da zero, esprime la
per la loro ortogonalità. E se si sa che un vettore  v  1, moltiplicato scalarmente per ogni altro vettore v 2, dà
v 1, moltiplicato scalarmente per ogni altro vettore  v  2, dà un prodotto v 1 x v 2 nullo, si può senz’altro
scalarmente per ogni altro vettore v 2, dà un prodotto  v  1 x v 2 nullo, si può senz’altro concludere che v 1 è
per ogni altro vettore v 2, dà un prodotto v 1 x  v  2 nullo, si può senz’altro concludere che v 1 è nullo,
prodotto v 1 x v 2 nullo, si può senz’altro concludere che  v  1 è nullo, poiché in caso contrario basterebbe prendere v 2
v 1 è nullo, poiché in caso contrario basterebbe prendere  v  2 non nullo e non ortogonale a v 1 per avere v 1 x v 2 ≠ 0.
basterebbe prendere v 2 non nullo e non ortogonale a  v  1 per avere v 1 x v 2 ≠ 0.
prendere v 2 non nullo e non ortogonale a v 1 per avere  v  1 x v 2 ≠ 0.
v 2 non nullo e non ortogonale a v 1 per avere v 1 x  v  2 ≠ 0.
(26) risulta senz’altro che i due prodotti  v  1 Λ (v 2 Λ v 3) (v 1 Λ v 1) Λ v 3 non coincidono; in altre
(26) risulta senz’altro che i due prodotti v 1 Λ (v 2 Λ  v  3) (v 1 Λ v 1) Λ v 3 non coincidono; in altre parole non
senz’altro che i due prodotti v 1 Λ (v 2 Λ v 3) (v 1 Λ  v  1) Λ v 3 non coincidono; in altre parole non vale pel
che i due prodotti v 1 Λ (v 2 Λ v 3) (v 1 Λ v 1) Λ  v  3 non coincidono; in altre parole non vale pel prodotto
a considerare la proprietà associativa, in quanto, essendo  v  1 x v 2 uno scalare, il simbolo ( v 1 x v 2 ) x v è privo
la proprietà associativa, in quanto, essendo v 1 x  v  2 uno scalare, il simbolo ( v 1 x v 2 ) x v è privo di
in quanto, essendo v 1 x v 2 uno scalare, il simbolo (  v  1 x v 2 ) x v è privo di senso.
quanto, essendo v 1 x v 2 uno scalare, il simbolo ( v 1 x  v  2 ) x v è privo di senso.
essendo v 1 x v 2 uno scalare, il simbolo ( v 1 x v 2 ) x  v  è privo di senso.
quanto, essendo vers  v  un vettore unitario, essa esprime semplicemente (n. prec.)
essa esprime semplicemente (n. prec.) che la componente di  v  1 + v 2 , secondo la direzione orientata di v è eguale alla
esprime semplicemente (n. prec.) che la componente di v 1 +  v  2 , secondo la direzione orientata di v è eguale alla somma
componente di v 1 + v 2 , secondo la direzione orientata di  v  è eguale alla somma delle analoghe componenti di v 1 e v 2:
di v è eguale alla somma delle analoghe componenti di  v  1 e v 2: e basta moltiplicare per v ambo i membri della
di v è eguale alla somma delle analoghe componenti di v 1 e  v  2: e basta moltiplicare per v ambo i membri della (16) per
analoghe componenti di v 1 e v 2: e basta moltiplicare per  v  ambo i membri della (16) per ottenere la (15).
sia a, il vettore a  v  è parallelo a v (o nullo) e, viceversa, per v ≠ 0, ogni
sia a, il vettore a v è parallelo a  v  (o nullo) e, viceversa, per v ≠ 0, ogni vettore v' (nullo,
il vettore a v è parallelo a v (o nullo) e, viceversa, per  v  ≠ 0, ogni vettore v' (nullo, o) parallelo a v è
per v ≠ 0, ogni vettore v' (nullo, o) parallelo a  v  è rappresentabile sotto la forma
relazione vettoriale  v  a = v r + v τ segue
relazione vettoriale v a =  v  r + v τ segue
relazione vettoriale v a = v r +  v  τ segue
contrazione invece di avere dopo il miscuglio il volume  V  + V’ si avrebbe p. e. 1/2(V + V’).
 v  = v 0;
=  v  0;
sistema (  v  1, v 2 ), in quanto è a risultante diverso da zero,
sistema ( v 1,  v  2 ), in quanto è a risultante diverso da zero, equivale
da zero, equivale necessariamente (n. 50) all’unico vettore  v  1 + v 2 applicato in un punto (qualsiasi) di una retta
equivale necessariamente (n. 50) all’unico vettore v 1 +  v  2 applicato in un punto (qualsiasi) di una retta parallela
di una retta parallela alle linee di azione r 1, r 2 di  v  1, v 2 e complanare ad esse. Se queste due linee d’azione
una retta parallela alle linee di azione r 1, r 2 di v 1,  v  2 e complanare ad esse. Se queste due linee d’azione
con esse anche la linea di azione del vettore applicato  v  1 + v 2 , equivalente al sistema.
esse anche la linea di azione del vettore applicato v 1 +  v  2 , equivalente al sistema.
è contrazione i rapporti che hanno fra loro i volumi V; V’;  V  + V’/c non sono gli stessi dei rapporti dei pesi VD; V’D’;
 v  = v (P | t)
=  v  (P | t)
equipollenti ai vettori  v  1, v 2,…, v n del sistema
equipollenti ai vettori v 1,  v  2,…, v n del sistema
equipollenti ai vettori v 1, v 2,…,  v  n del sistema
quando  V  = O, cioè quando non vi è dispersione, si ha V = V(k0).
quando V = O, cioè quando non vi è dispersione, si ha  V  = V(k0).
che se, nel caso di due vettori quali si vogliono  v  1 e v 2, la direzione di uno di essi p. es. di v 1, si
che se, nel caso di due vettori quali si vogliono v 1 e  v  2, la direzione di uno di essi p. es. di v 1, si considera
vogliono v 1 e v 2, la direzione di uno di essi p. es. di  v  1, si considera orientata nel verso opposto a quello di v
v 1, si considera orientata nel verso opposto a quello di  v  l, le componenti di v 1 e v 2 secondo codesta direzione
nel verso opposto a quello di v l, le componenti di  v  1 e v 2 secondo codesta direzione orientata sono date da
nel verso opposto a quello di v l, le componenti di v 1 e  v  2 secondo codesta direzione orientata sono date da
prodotto  v  x v di un vettore per se stesso, che si suol indicare più
prodotto v x  v  di un vettore per se stesso, che si suol indicare più
per se stesso, che si suol indicare più semplicemente con  v  2, coincide (essendo ) col quadrato v 2 della lunghezza,
più semplicemente con v 2, coincide (essendo ) col quadrato  v  2 della lunghezza, onde la condizione v 2 = 1 caratterizza
) col quadrato v 2 della lunghezza, onde la condizione  v  2 = 1 caratterizza i vettori unitari.
 v  a = v r,
v a =  v  r,
il volume sia soloV + V’/c, avrassi allora VD + V’D’ =  V  + V’/c d…………(2)
Prodotto vettoriale. – Due vettori  v  1, v 2 non paralleli (ed entrambi diversi dallo zero)
Prodotto vettoriale. – Due vettori v 1,  v  2 non paralleli (ed entrambi diversi dallo zero)
quello in cui, sul piano considerato, la parallela a  v  1 per un qualsiasi punto O, orientata nel verso di v 1 deve
a v 1 per un qualsiasi punto O, orientata nel verso di  v  1 deve ruotare intorno ad O per sovrapporsi, descrivendo un
un angolo non maggiore di r, alla parallela per O a  v  2 , orientata nel verso di v 2 . Di conseguenza i due
di r, alla parallela per O a v 2 , orientata nel verso di  v  2 . Di conseguenza i due vettori v 1, v 2 permettono di
, orientata nel verso di v 2 . Di conseguenza i due vettori  v  1, v 2 permettono di distinguere l'un dall’altro, per ogni
nel verso di v 2 . Di conseguenza i due vettori v 1,  v  2 permettono di distinguere l'un dall’altro, per ogni
per ogni direzione non appartenente alla giacitura di  v  1, v 2, i due versi opposti: quello rispetto a cui il senso
per ogni direzione non appartenente alla giacitura di v 1,  v  2, i due versi opposti: quello rispetto a cui il senso di
quello rispetto a cui il senso di rotazione determinato da  v  1, v 2 appare destrorso e il verso opposto.
rispetto a cui il senso di rotazione determinato da v 1,  v  2 appare destrorso e il verso opposto.
in un generico punto O, che rappresenta il prodotto  v  1 Λ v 2, di due vettori non nulli, né paralleli, basta
in un generico punto O, che rappresenta il prodotto v 1 Λ  v  2, di due vettori non nulli, né paralleli, basta immaginare
2, di due vettori non nulli, né paralleli, basta immaginare  v  1 e v 2 applicati in O. Se è P 1 = O + v 1 , P 2 = O + v 2
due vettori non nulli, né paralleli, basta immaginare v 1 e  v  2 applicati in O. Se è P 1 = O + v 1 , P 2 = O + v 2 , il
basta immaginare v 1 e v 2 applicati in O. Se è P 1 = O +  v  1 , P 2 = O + v 2 , il vettore v 1 Λ v 2 applicato in O ha
v 1 e v 2 applicati in O. Se è P 1 = O + v 1 , P 2 = O +  v  2 , il vettore v 1 Λ v 2 applicato in O ha per linea
in O. Se è P 1 = O + v 1 , P 2 = O + v 2 , il vettore  v  1 Λ v 2 applicato in O ha per linea d’azione la
in O. Se è P 1 = O + v 1 , P 2 = O + v 2 , il vettore v 1 Λ  v  2 applicato in O ha per linea d’azione la perpendicolare in
numero che dà l'area del parallelogramma O P 1 P P 2 di  v  1, v 2 .
che dà l'area del parallelogramma O P 1 P P 2 di v 1,  v  2 .
 v  x, v y, v z, sono le componenti del vettore v, le
v x,  v  y, v z, sono le componenti del vettore v, le coordinate x,
v x, v y,  v  z, sono le componenti del vettore v, le coordinate x, y, z,
 V  = λ½v.
risultante R e il momento risultante M; talché, se si pone  v  = R + v', il sistema dei due vettori v' e -v', applicati
- Altra formola notevole relativa a tre vettori generici  v  1, v 2, v 3 è la seguente:
Altra formola notevole relativa a tre vettori generici v 1,  v  2, v 3 è la seguente:
formola notevole relativa a tre vettori generici v 1, v 2,  v  3 è la seguente:
di un vettore per un numero. - Se  v  è un dato vettore ed n un intero positivo qualsiasi, la
intero positivo qualsiasi, la somma di n vettori uguali a  v  è, per definizione, il vettore che ha la stessa direzione e
il vettore che ha la stessa direzione e lo stesso verso di  v  e la lunghezza n v. Esso dicesi prodotto di v per l’intero
verso di v e la lunghezza n v. Esso dicesi prodotto di  v  per l’intero n e si designa con n v.
τ =  V  + V',
terzo luogo un sistema σ formato da più vettori applicati  v  1, v 2 , … , v n, paralleli e diretti nello stesso senso e
luogo un sistema σ formato da più vettori applicati v 1,  v  2 , … , v n, paralleli e diretti nello stesso senso e
sistema σ formato da più vettori applicati v 1, v 2 , … ,  v  n, paralleli e diretti nello stesso senso e indichiamo al
e diretti nello stesso senso e indichiamo al solito con  v  i e con A i la lunghezza e l’origine del vettore generico v
v i e con A i la lunghezza e l’origine del vettore generico  v  i (i = 1, 2,..., n).
poiché  v  è ortogonale a v 1 ', v 2', si ha per la prima parte della
poiché v è ortogonale a  v  1 ', v 2', si ha per la prima parte della dimostrazione
poiché v è ortogonale a v 1 ',  v  2', si ha per la prima parte della dimostrazione
in generale, si chiama prodotto del vettore  v  per un numero reale qualsiasi a e si denota con a v (o
vettore v per un numero reale qualsiasi a e si denota con a  v  (o indifferentemente con v a) il vettore che ha la
qualsiasi a e si denota con a v (o indifferentemente con  v  a) il vettore che ha la lunghezza |a| v, e (quando non sia
positivo o negativo. Notiamo subito che, per definizione, a  v  si annulla sempre e solo quando sia nullo o il numero a o
sempre e solo quando sia nullo o il numero a o il vettore  v  (od entrambi).

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